Theorem ecqusaddcl 13493

Description: Closure of the addition in a quotient group. (Contributed by AV, 24-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ecqusaddd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
ecqusaddd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ecqusaddd.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
ecqusaddd.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
ecqusaddcl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ) ∈ (Base‘𝑄))

Proof of Theorem ecqusaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecqusaddd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
2		ecqusaddd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ecqusaddd.g	. . 3 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
4		ecqusaddd.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
5	1, 2, 3, 4	ecqusaddd 13492	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ = ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ))
6		nsgsubg 13459	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
7		subgrcl 13433	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝑅 ∈ Grp)
8	1, 6, 7	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
9	8	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
10	8	anim1i 340	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
11		3anass 984	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
12	10, 11	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
13		eqid 2204	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
14	2, 13	grpcl 13258	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴(+g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝐵)
15	12, 14	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝐴(+g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝐵)
16	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
17		eqid 2204	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
18	3, 4, 2, 17	quseccl0g 13485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐴(+g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅)) → [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ ∈ (Base‘𝑄))
19	9, 15, 16, 18	syl3anc 1249	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ ∈ (Base‘𝑄))
20	5, 19	eqeltrrd 2282	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ) ∈ (Base‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  [cec 6608  Basecbs 12751  +_gcplusg 12828   /_s cqus 13050  Grpcgrp 13250  SubGrpcsubg 13421  NrmSGrpcnsg 13422   ~_QG cqg 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-tp 3640  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-er 6610  df-ec 6612  df-qs 6616  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-ltxr 8094  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-sets 12758  df-iress 12759  df-plusg 12841  df-mulr 12842  df-0g 13008  df-iimas 13052  df-qus 13053  df-mgm 13106  df-sgrp 13152  df-mnd 13167  df-grp 13253  df-minusg 13254  df-subg 13424  df-nsg 13425  df-eqg 13426

This theorem is referenced by: (None)