Theorem elfzmlbm 10200

Description: Subtracting the lower bound of a finite set of sequential integers from an element of this set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Mar-2018.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfzmlbm	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)))

Proof of Theorem elfzmlbm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10090	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		uznn0sub 9627	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0)
4		elfzuz2 10098	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		uznn0sub 9627	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
7		elfzelz 10094	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
8	7	zred 9442	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
9		elfzel2 10092	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	zred 9442	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
11		elfzel1 10093	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
12	11	zred 9442	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
13		elfzle2 10097	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
14	8, 10, 12, 13	lesub1dd 8582	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ (𝑁 − 𝑀))
15		elfz2nn0 10181	. 2 ⊢ ((𝐾 − 𝑀) ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ↔ ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ (𝑁 − 𝑀)))
16	3, 6, 14, 15	syl3anbrc 1183	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  0cc0 7874   ≤ cle 8057   − cmin 8192  ℕ₀cn0 9243  ℤ_≥cuz 9595  ...cfz 10077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078

This theorem is referenced by:  bcm1k  10834