Theorem fz0fzdiffz0 10116

Description: The difference of an integer in a finite set of sequential nonnegative integers and and an integer of a finite set of sequential integers with the same upper bound and the nonnegative integer as lower bound is a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fz0fzdiffz0	|- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( K - M ) e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem fz0fzdiffz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz0fzelfz0 10113	. . 3 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> K e. ( 0 ... N ) )
2		elfzle1 10013	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )
3	2	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> M <_ K )
4	3	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) ) -> M <_ K )
5		elfznn0 10100	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. NN0 )
6	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> M e. NN0 )
7		elfznn0 10100	. . . . . 6 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. NN0 )
8		nn0sub 9308	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( M <_ K <-> ( K - M ) e. NN0 ) )
9	6, 7, 8	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) ) -> ( M <_ K <-> ( K - M ) e. NN0 ) )
10	4, 9	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) ) -> ( K - M ) e. NN0 )
11		elfz3nn0 10101	. . . . 5 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
12	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) ) -> N e. NN0 )
13		elfz2nn0 10098	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
14		elfz2 10002	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
15		zsubcl 9283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K - M ) e. ZZ )
16	15	zred 9364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K - M ) e. RR )
17	16	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( K - M ) e. RR )
18	17	3adant2 1016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( K - M ) e. RR )
19		zre 9246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
20	19	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> K e. RR )
21		zre 9246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
22	21	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> N e. RR )
23	18, 20, 22	3jca 1177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - M ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) )
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) -> ( ( K - M ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) )
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) /\ K <_ N ) -> ( ( K - M ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) )
26		nn0ge0 9190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. NN0 -> 0 <_ M )
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) -> 0 <_ M )
28		nn0re 9174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
29		subge02 8425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. RR /\ M e. RR ) -> ( 0 <_ M <-> ( K - M ) <_ K ) )
30	20, 28, 29	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) -> ( 0 <_ M <-> ( K - M ) <_ K ) )
31	27, 30	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) -> ( K - M ) <_ K )
32	31	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) /\ K <_ N ) -> ( ( K - M ) <_ K /\ K <_ N ) )
33		letr 8030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K - M ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( K - M ) <_ K /\ K <_ N ) -> ( K - M ) <_ N ) )
34	25, 32, 33	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) /\ K <_ N ) -> ( K - M ) <_ N )
35	34	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M e. NN0 -> ( K <_ N -> ( K - M ) <_ N ) ) )
36	35	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M e. NN0 -> ( K <_ N -> ( K - M ) <_ N ) ) ) )
37	36	com14 88	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K <_ N -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( K - M ) <_ N ) ) ) )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M <_ K /\ K <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( K - M ) <_ N ) ) ) )
39	38	impcom 125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) -> ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( K - M ) <_ N ) ) )
40	14, 39	sylbi 121	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( K - M ) <_ N ) ) )
41	40	com13 80	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) <_ N ) ) )
42	41	impcom 125	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) <_ N ) )
43	42	3adant3 1017	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) <_ N ) )
44	13, 43	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) <_ N ) )
45	44	imp 124	. . . . 5 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( K - M ) <_ N )
46	45	adantl 277	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) ) -> ( K - M ) <_ N )
47	10, 12, 46	3jca 1177	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
48	1, 47	mpancom 422	. 2 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
49		elfz2nn0 10098	. 2 |- ( ( K - M ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
50	48, 49	sylibr 134	1 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( K - M ) e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   e. wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   RRcr 7801   0cc0 7802   <_ cle 7983   - cmin 8118   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   ...cfz 9995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996

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