Theorem fz0fzdiffz0 10410

Description: The difference of an integer in a finite set of sequential nonnegative integers and and an integer of a finite set of sequential integers with the same upper bound and the nonnegative integer as lower bound is a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fz0fzdiffz0	|- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( K - M ) e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem fz0fzdiffz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz0fzelfz0 10407	. . 3 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> K e. ( 0 ... N ) )
2		elfzle1 10307	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )
3	2	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> M <_ K )
4	3	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) ) -> M <_ K )
5		elfznn0 10394	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. NN0 )
6	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> M e. NN0 )
7		elfznn0 10394	. . . . . 6 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. NN0 )
8		nn0sub 9590	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( M <_ K <-> ( K - M ) e. NN0 ) )
9	6, 7, 8	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) ) -> ( M <_ K <-> ( K - M ) e. NN0 ) )
10	4, 9	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) ) -> ( K - M ) e. NN0 )
11		elfz3nn0 10395	. . . . 5 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
12	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) ) -> N e. NN0 )
13		elfz2nn0 10392	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
14		elfz2 10295	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
15		zsubcl 9564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K - M ) e. ZZ )
16	15	zred 9646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K - M ) e. RR )
17	16	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( K - M ) e. RR )
18	17	3adant2 1043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( K - M ) e. RR )
19		zre 9527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
20	19	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> K e. RR )
21		zre 9527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
22	21	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> N e. RR )
23	18, 20, 22	3jca 1204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - M ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) )
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) -> ( ( K - M ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) )
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) /\ K <_ N ) -> ( ( K - M ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) )
26		nn0ge0 9469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. NN0 -> 0 <_ M )
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) -> 0 <_ M )
28		nn0re 9453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
29		subge02 8700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. RR /\ M e. RR ) -> ( 0 <_ M <-> ( K - M ) <_ K ) )
30	20, 28, 29	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) -> ( 0 <_ M <-> ( K - M ) <_ K ) )
31	27, 30	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) -> ( K - M ) <_ K )
32	31	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) /\ K <_ N ) -> ( ( K - M ) <_ K /\ K <_ N ) )
33		letr 8304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K - M ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( K - M ) <_ K /\ K <_ N ) -> ( K - M ) <_ N ) )
34	25, 32, 33	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) /\ K <_ N ) -> ( K - M ) <_ N )
35	34	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M e. NN0 -> ( K <_ N -> ( K - M ) <_ N ) ) )
36	35	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M e. NN0 -> ( K <_ N -> ( K - M ) <_ N ) ) ) )
37	36	com14 88	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K <_ N -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( K - M ) <_ N ) ) ) )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M <_ K /\ K <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( K - M ) <_ N ) ) ) )
39	38	impcom 125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) -> ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( K - M ) <_ N ) ) )
40	14, 39	sylbi 121	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( K - M ) <_ N ) ) )
41	40	com13 80	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) <_ N ) ) )
42	41	impcom 125	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) <_ N ) )
43	42	3adant3 1044	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) <_ N ) )
44	13, 43	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) <_ N ) )
45	44	imp 124	. . . . 5 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( K - M ) <_ N )
46	45	adantl 277	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) ) -> ( K - M ) <_ N )
47	10, 12, 46	3jca 1204	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
48	1, 47	mpancom 422	. 2 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
49		elfz2nn0 10392	. 2 |- ( ( K - M ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
50	48, 49	sylibr 134	1 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( K - M ) e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   RRcr 8074   0cc0 8075   <_ cle 8257   - cmin 8392   NN0cn0 9444   ZZcz 9523   ...cfz 10288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289

This theorem is referenced by:  pfxtrcfv  11323