Theorem fz0fzdiffz0 10172

Description: The difference of an integer in a finite set of sequential nonnegative integers and and an integer of a finite set of sequential integers with the same upper bound and the nonnegative integer as lower bound is a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fz0fzdiffz0	|- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( K - M ) e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem fz0fzdiffz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz0fzelfz0 10169	. . 3 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> K e. ( 0 ... N ) )
2		elfzle1 10069	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )
3	2	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> M <_ K )
4	3	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) ) -> M <_ K )
5		elfznn0 10156	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. NN0 )
6	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> M e. NN0 )
7		elfznn0 10156	. . . . . 6 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. NN0 )
8		nn0sub 9360	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( M <_ K <-> ( K - M ) e. NN0 ) )
9	6, 7, 8	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) ) -> ( M <_ K <-> ( K - M ) e. NN0 ) )
10	4, 9	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) ) -> ( K - M ) e. NN0 )
11		elfz3nn0 10157	. . . . 5 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
12	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) ) -> N e. NN0 )
13		elfz2nn0 10154	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
14		elfz2 10057	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
15		zsubcl 9335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K - M ) e. ZZ )
16	15	zred 9416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K - M ) e. RR )
17	16	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( K - M ) e. RR )
18	17	3adant2 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( K - M ) e. RR )
19		zre 9298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
20	19	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> K e. RR )
21		zre 9298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
22	21	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> N e. RR )
23	18, 20, 22	3jca 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - M ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) )
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) -> ( ( K - M ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) )
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) /\ K <_ N ) -> ( ( K - M ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) )
26		nn0ge0 9242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. NN0 -> 0 <_ M )
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) -> 0 <_ M )
28		nn0re 9226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
29		subge02 8476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. RR /\ M e. RR ) -> ( 0 <_ M <-> ( K - M ) <_ K ) )
30	20, 28, 29	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) -> ( 0 <_ M <-> ( K - M ) <_ K ) )
31	27, 30	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) -> ( K - M ) <_ K )
32	31	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) /\ K <_ N ) -> ( ( K - M ) <_ K /\ K <_ N ) )
33		letr 8081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K - M ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( K - M ) <_ K /\ K <_ N ) -> ( K - M ) <_ N ) )
34	25, 32, 33	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) /\ K <_ N ) -> ( K - M ) <_ N )
35	34	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M e. NN0 -> ( K <_ N -> ( K - M ) <_ N ) ) )
36	35	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M e. NN0 -> ( K <_ N -> ( K - M ) <_ N ) ) ) )
37	36	com14 88	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K <_ N -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( K - M ) <_ N ) ) ) )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M <_ K /\ K <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( K - M ) <_ N ) ) ) )
39	38	impcom 125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) -> ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( K - M ) <_ N ) ) )
40	14, 39	sylbi 121	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( K - M ) <_ N ) ) )
41	40	com13 80	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) <_ N ) ) )
42	41	impcom 125	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) <_ N ) )
43	42	3adant3 1019	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) <_ N ) )
44	13, 43	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) <_ N ) )
45	44	imp 124	. . . . 5 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( K - M ) <_ N )
46	45	adantl 277	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) ) -> ( K - M ) <_ N )
47	10, 12, 46	3jca 1179	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
48	1, 47	mpancom 422	. 2 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
49		elfz2nn0 10154	. 2 |- ( ( K - M ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
50	48, 49	sylibr 134	1 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( K - M ) e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2160   class class class wbr 4025  (class class class)co 5904   RRcr 7850   0cc0 7851   <_ cle 8034   - cmin 8169   NN0cn0 9217   ZZcz 9294   ...cfz 10050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-cnex 7942  ax-resscn 7943  ax-1cn 7944  ax-1re 7945  ax-icn 7946  ax-addcl 7947  ax-addrcl 7948  ax-mulcl 7949  ax-addcom 7951  ax-addass 7953  ax-distr 7955  ax-i2m1 7956  ax-0lt1 7957  ax-0id 7959  ax-rnegex 7960  ax-cnre 7962  ax-pre-ltirr 7963  ax-pre-ltwlin 7964  ax-pre-lttrn 7965  ax-pre-ltadd 7967

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-dif 3150  df-un 3152  df-in 3154  df-ss 3161  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-id 4318  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-fv 5250  df-riota 5859  df-ov 5907  df-oprab 5908  df-mpo 5909  df-pnf 8035  df-mnf 8036  df-xr 8037  df-ltxr 8038  df-le 8039  df-sub 8171  df-neg 8172  df-inn 8961  df-n0 9218  df-z 9295  df-uz 9570  df-fz 10051

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