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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > fz0fzdiffz0 | Unicode version |
Description: The difference of an integer in a finite set of sequential nonnegative integers and and an integer of a finite set of sequential integers with the same upper bound and the nonnegative integer as lower bound is a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jun-2018.) |
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fz0fzdiffz0 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | fz0fzelfz0 9935 |
. . 3
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2 | elfzle1 9838 |
. . . . . . 7
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3 | 2 | adantl 275 |
. . . . . 6
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4 | 3 | adantl 275 |
. . . . 5
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5 | elfznn0 9925 |
. . . . . . 7
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6 | 5 | adantr 274 |
. . . . . 6
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7 | elfznn0 9925 |
. . . . . 6
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8 | nn0sub 9144 |
. . . . . 6
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9 | 6, 7, 8 | syl2anr 288 |
. . . . 5
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10 | 4, 9 | mpbid 146 |
. . . 4
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11 | elfz3nn0 9926 |
. . . . 5
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12 | 11 | adantr 274 |
. . . 4
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13 | elfz2nn0 9923 |
. . . . . . 7
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14 | elfz2 9828 |
. . . . . . . . . . 11
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15 | zsubcl 9119 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
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16 | 15 | zred 9197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
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17 | 16 | ancoms 266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
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18 | 17 | 3adant2 1001 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
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19 | zre 9082 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
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20 | 19 | 3ad2ant3 1005 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
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21 | zre 9082 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
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22 | 21 | 3ad2ant2 1004 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
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23 | 18, 20, 22 | 3jca 1162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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24 | 23 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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25 | 24 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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26 | nn0ge0 9026 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
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27 | 26 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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28 | nn0re 9010 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
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29 | subge02 8264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
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30 | 20, 28, 29 | syl2an 287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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31 | 27, 30 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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32 | 31 | anim1i 338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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33 | letr 7871 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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34 | 25, 32, 33 | sylc 62 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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35 | 34 | exp31 362 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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36 | 35 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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37 | 36 | com14 88 |
. . . . . . . . . . . . 13
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38 | 37 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . 12
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39 | 38 | impcom 124 |
. . . . . . . . . . 11
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40 | 14, 39 | sylbi 120 |
. . . . . . . . . 10
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41 | 40 | com13 80 |
. . . . . . . . 9
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42 | 41 | impcom 124 |
. . . . . . . 8
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43 | 42 | 3adant3 1002 |
. . . . . . 7
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44 | 13, 43 | sylbi 120 |
. . . . . 6
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45 | 44 | imp 123 |
. . . . 5
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46 | 45 | adantl 275 |
. . . 4
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47 | 10, 12, 46 | 3jca 1162 |
. . 3
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48 | 1, 47 | mpancom 419 |
. 2
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49 | elfz2nn0 9923 |
. 2
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50 | 48, 49 | sylibr 133 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-sep 4054 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-addcom 7744 ax-addass 7746 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-ltadd 7760 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-id 4223 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-fv 5139 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-inn 8745 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-fz 9822 |
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