Theorem fz0fzdiffz0 10272

Description: The difference of an integer in a finite set of sequential nonnegative integers and and an integer of a finite set of sequential integers with the same upper bound and the nonnegative integer as lower bound is a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fz0fzdiffz0	|- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( K - M ) e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem fz0fzdiffz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz0fzelfz0 10269	. . 3 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> K e. ( 0 ... N ) )
2		elfzle1 10169	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )
3	2	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> M <_ K )
4	3	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) ) -> M <_ K )
5		elfznn0 10256	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. NN0 )
6	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> M e. NN0 )
7		elfznn0 10256	. . . . . 6 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. NN0 )
8		nn0sub 9459	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( M <_ K <-> ( K - M ) e. NN0 ) )
9	6, 7, 8	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) ) -> ( M <_ K <-> ( K - M ) e. NN0 ) )
10	4, 9	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) ) -> ( K - M ) e. NN0 )
11		elfz3nn0 10257	. . . . 5 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
12	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) ) -> N e. NN0 )
13		elfz2nn0 10254	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
14		elfz2 10157	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
15		zsubcl 9433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K - M ) e. ZZ )
16	15	zred 9515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K - M ) e. RR )
17	16	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( K - M ) e. RR )
18	17	3adant2 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( K - M ) e. RR )
19		zre 9396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
20	19	3ad2ant3 1023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> K e. RR )
21		zre 9396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
22	21	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> N e. RR )
23	18, 20, 22	3jca 1180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - M ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) )
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) -> ( ( K - M ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) )
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) /\ K <_ N ) -> ( ( K - M ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) )
26		nn0ge0 9340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. NN0 -> 0 <_ M )
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) -> 0 <_ M )
28		nn0re 9324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
29		subge02 8571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. RR /\ M e. RR ) -> ( 0 <_ M <-> ( K - M ) <_ K ) )
30	20, 28, 29	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) -> ( 0 <_ M <-> ( K - M ) <_ K ) )
31	27, 30	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) -> ( K - M ) <_ K )
32	31	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) /\ K <_ N ) -> ( ( K - M ) <_ K /\ K <_ N ) )
33		letr 8175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K - M ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( K - M ) <_ K /\ K <_ N ) -> ( K - M ) <_ N ) )
34	25, 32, 33	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ M e. NN0 ) /\ K <_ N ) -> ( K - M ) <_ N )
35	34	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M e. NN0 -> ( K <_ N -> ( K - M ) <_ N ) ) )
36	35	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M e. NN0 -> ( K <_ N -> ( K - M ) <_ N ) ) ) )
37	36	com14 88	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K <_ N -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( K - M ) <_ N ) ) ) )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M <_ K /\ K <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( K - M ) <_ N ) ) ) )
39	38	impcom 125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) -> ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( K - M ) <_ N ) ) )
40	14, 39	sylbi 121	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( K - M ) <_ N ) ) )
41	40	com13 80	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) <_ N ) ) )
42	41	impcom 125	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) <_ N ) )
43	42	3adant3 1020	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) <_ N ) )
44	13, 43	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) <_ N ) )
45	44	imp 124	. . . . 5 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( K - M ) <_ N )
46	45	adantl 277	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) ) -> ( K - M ) <_ N )
47	10, 12, 46	3jca 1180	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
48	1, 47	mpancom 422	. 2 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
49		elfz2nn0 10254	. 2 |- ( ( K - M ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
50	48, 49	sylibr 134	1 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( K - M ) e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   e. wcel 2177   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957   RRcr 7944   0cc0 7945   <_ cle 8128   - cmin 8263   NN0cn0 9315   ZZcz 9392   ...cfz 10150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-fz 10151

This theorem is referenced by:  pfxtrcfv  11169