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Theorem fz0fzdiffz0 10196
Description: The difference of an integer in a finite set of sequential nonnegative integers and and an integer of a finite set of sequential integers with the same upper bound and the nonnegative integer as lower bound is a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
fz0fzdiffz0  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  -  M
)  e.  ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem fz0fzdiffz0
StepHypRef Expression
1 fz0fzelfz0 10193 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  K  e.  ( 0 ... N ) )
2 elfzle1 10093 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )
32adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  M  <_  K )
43adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( M  e.  (
0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) ) )  ->  M  <_  K
)
5 elfznn0 10180 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  NN0 )
65adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  M  e.  NN0 )
7 elfznn0 10180 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
8 nn0sub 9383 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  K  <->  ( K  -  M )  e.  NN0 ) )
96, 7, 8syl2anr 290 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( M  e.  (
0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( M  <_  K 
<->  ( K  -  M
)  e.  NN0 )
)
104, 9mpbid 147 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( M  e.  (
0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( K  -  M )  e.  NN0 )
11 elfz3nn0 10181 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
1211adantr 276 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( M  e.  (
0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
13 elfz2nn0 10178 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
14 elfz2 10081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
15 zsubcl 9358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M
)  e.  ZZ )
1615zred 9439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M
)  e.  RR )
1716ancoms 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M
)  e.  RR )
18173adant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M )  e.  RR )
19 zre 9321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
20193ad2ant3 1022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  RR )
21 zre 9321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
22213ad2ant2 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
2318, 20, 223jca 1179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( K  -  M
)  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
2423adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( K  -  M )  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
2524adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  /\  K  <_  N )  ->  (
( K  -  M
)  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
26 nn0ge0 9265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_  M )
2726adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  ->  0  <_  M
)
28 nn0re 9249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
29 subge02 8497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 0  <_  M  <->  ( K  -  M )  <_  K ) )
3020, 28, 29syl2an 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( 0  <_  M 
<->  ( K  -  M
)  <_  K )
)
3127, 30mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( K  -  M )  <_  K
)
3231anim1i 340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  /\  K  <_  N )  ->  (
( K  -  M
)  <_  K  /\  K  <_  N ) )
33 letr 8102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  -  M
)  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( ( K  -  M )  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  ( K  -  M )  <_  N
) )
3425, 32, 33sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  /\  K  <_  N )  ->  ( K  -  M )  <_  N )
3534exp31 364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  <_  N  ->  ( K  -  M )  <_  N ) ) )
3635a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  <_  N  ->  ( K  -  M )  <_  N ) ) ) )
3736com14 88 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  <_  N  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( K  -  M
)  <_  N )
) ) )
3837adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  N )  -> 
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( K  -  M )  <_  N ) ) ) )
3938impcom 125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( K  -  M )  <_  N
) ) )
4014, 39sylbi 121 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( K  -  M )  <_  N ) ) )
4140com13 80 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  M )  <_  N ) ) )
4241impcom 125 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  M )  <_  N
) )
43423adant3 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  M )  <_  N ) )
4413, 43sylbi 121 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  M )  <_  N ) )
4544imp 124 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  -  M
)  <_  N )
4645adantl 277 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( M  e.  (
0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( K  -  M )  <_  N
)
4710, 12, 463jca 1179 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( M  e.  (
0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( ( K  -  M )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 
/\  ( K  -  M )  <_  N
) )
481, 47mpancom 422 . 2  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  ( K  -  M
)  <_  N )
)
49 elfz2nn0 10178 . 2  |-  ( ( K  -  M )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( K  -  M )  <_  N
) )
5048, 49sylibr 134 1  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  -  M
)  e.  ( 0 ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 980    e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   RRcr 7871   0cc0 7872    <_ cle 8055    - cmin 8190   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ...cfz 10074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075
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