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Theorem fz0fzdiffz0 9900
Description: The difference of an integer in a finite set of sequential nonnegative integers and and an integer of a finite set of sequential integers with the same upper bound and the nonnegative integer as lower bound is a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
fz0fzdiffz0  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  -  M
)  e.  ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem fz0fzdiffz0
StepHypRef Expression
1 fz0fzelfz0 9897 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  K  e.  ( 0 ... N ) )
2 elfzle1 9800 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )
32adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  M  <_  K )
43adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( M  e.  (
0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) ) )  ->  M  <_  K
)
5 elfznn0 9887 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  NN0 )
65adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  M  e.  NN0 )
7 elfznn0 9887 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
8 nn0sub 9113 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  K  <->  ( K  -  M )  e.  NN0 ) )
96, 7, 8syl2anr 288 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( M  e.  (
0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( M  <_  K 
<->  ( K  -  M
)  e.  NN0 )
)
104, 9mpbid 146 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( M  e.  (
0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( K  -  M )  e.  NN0 )
11 elfz3nn0 9888 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
1211adantr 274 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( M  e.  (
0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
13 elfz2nn0 9885 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
14 elfz2 9790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
15 zsubcl 9088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M
)  e.  ZZ )
1615zred 9166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M
)  e.  RR )
1716ancoms 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M
)  e.  RR )
18173adant2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M )  e.  RR )
19 zre 9051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
20193ad2ant3 1004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  RR )
21 zre 9051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
22213ad2ant2 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
2318, 20, 223jca 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( K  -  M
)  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
2423adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( K  -  M )  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
2524adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  /\  K  <_  N )  ->  (
( K  -  M
)  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
26 nn0ge0 8995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_  M )
2726adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  ->  0  <_  M
)
28 nn0re 8979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
29 subge02 8233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 0  <_  M  <->  ( K  -  M )  <_  K ) )
3020, 28, 29syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( 0  <_  M 
<->  ( K  -  M
)  <_  K )
)
3127, 30mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( K  -  M )  <_  K
)
3231anim1i 338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  /\  K  <_  N )  ->  (
( K  -  M
)  <_  K  /\  K  <_  N ) )
33 letr 7840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  -  M
)  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( ( K  -  M )  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  ( K  -  M )  <_  N
) )
3425, 32, 33sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  /\  K  <_  N )  ->  ( K  -  M )  <_  N )
3534exp31 361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  <_  N  ->  ( K  -  M )  <_  N ) ) )
3635a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  <_  N  ->  ( K  -  M )  <_  N ) ) ) )
3736com14 88 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  <_  N  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( K  -  M
)  <_  N )
) ) )
3837adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  N )  -> 
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( K  -  M )  <_  N ) ) ) )
3938impcom 124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( K  -  M )  <_  N
) ) )
4014, 39sylbi 120 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( K  -  M )  <_  N ) ) )
4140com13 80 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  M )  <_  N ) ) )
4241impcom 124 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  M )  <_  N
) )
43423adant3 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  M )  <_  N ) )
4413, 43sylbi 120 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  M )  <_  N ) )
4544imp 123 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  -  M
)  <_  N )
4645adantl 275 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( M  e.  (
0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( K  -  M )  <_  N
)
4710, 12, 463jca 1161 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( M  e.  (
0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( ( K  -  M )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 
/\  ( K  -  M )  <_  N
) )
481, 47mpancom 418 . 2  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  ( K  -  M
)  <_  N )
)
49 elfz2nn0 9885 . 2  |-  ( ( K  -  M )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( K  -  M )  <_  N
) )
5048, 49sylibr 133 1  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  -  M
)  e.  ( 0 ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   RRcr 7612   0cc0 7613    <_ cle 7794    - cmin 7926   NN0cn0 8970   ZZcz 9047   ...cfz 9783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784
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