Theorem elfzomelpfzo 10244

Description: An integer increased by another integer is an element of a half-open integer range if and only if the integer is contained in the half-open integer range with bounds decreased by the other integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzomelpfzo	|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( M - L )..^ ( N - L ) ) <-> ( K + L ) e. ( M..^ N ) ) )

Proof of Theorem elfzomelpfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 9307	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( M - L ) e. ZZ )
2	1	ad2ant2rl 511	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( M - L ) e. ZZ )
3		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
5	2, 4	2thd 175	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( M - L ) e. ZZ <-> M e. ZZ ) )
6		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> K e. ZZ )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> K e. ZZ )
8		zaddcl 9306	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( K + L ) e. ZZ )
9	8	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K + L ) e. ZZ )
10	7, 9	2thd 175	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K e. ZZ <-> ( K + L ) e. ZZ ) )
11		zre 9270	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
12	11	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
13	12	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> M e. RR )
14		zre 9270	. . . . . . . 8 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> L e. RR )
16	15	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> L e. RR )
17		zre 9270	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
18	17	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> K e. RR )
19	18	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> K e. RR )
20	13, 16, 19	lesubaddd 8512	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( M - L ) <_ K <-> M <_ ( K + L ) ) )
21	5, 10, 20	3anbi123d 1322	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( ( M - L ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( M - L ) <_ K ) <-> ( M e. ZZ /\ ( K + L ) e. ZZ /\ M <_ ( K + L ) ) ) )
22		eluz2 9547	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` ( M - L ) ) <-> ( ( M - L ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( M - L ) <_ K ) )
23		eluz2 9547	. . . 4 |- ( ( K + L ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( K + L ) e. ZZ /\ M <_ ( K + L ) ) )
24	21, 22, 23	3bitr4g 223	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ZZ>= ` ( M - L ) ) <-> ( K + L ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )
25		zsubcl 9307	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
26	25	ad2ant2l 508	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( N - L ) e. ZZ )
27		simplr 528	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
28	26, 27	2thd 175	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( N - L ) e. ZZ <-> N e. ZZ ) )
29		zre 9270	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
30	29	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
31	30	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> N e. RR )
32	19, 16, 31	ltaddsubd 8515	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( K + L ) < N <-> K < ( N - L ) ) )
33	32	bicomd 141	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K < ( N - L ) <-> ( K + L ) < N ) )
34	24, 28, 33	3anbi123d 1322	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( K e. ( ZZ>= ` ( M - L ) ) /\ ( N - L ) e. ZZ /\ K < ( N - L ) ) <-> ( ( K + L ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ ( K + L ) < N ) ) )
35		elfzo2 10163	. 2 |- ( K e. ( ( M - L )..^ ( N - L ) ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` ( M - L ) ) /\ ( N - L ) e. ZZ /\ K < ( N - L ) ) )
36		elfzo2 10163	. 2 |- ( ( K + L ) e. ( M..^ N ) <-> ( ( K + L ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ ( K + L ) < N ) )
37	34, 35, 36	3bitr4g 223	1 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( M - L )..^ ( N - L ) ) <-> ( K + L ) e. ( M..^ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 979   e. wcel 2158   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   RRcr 7823   + caddc 7827   < clt 8005   <_ cle 8006   - cmin 8141   ZZcz 9266   ZZ>=cuz 9541  ..^cfzo 10155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022  df-fzo 10156

This theorem is referenced by: (None)