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Theorem elfzomelpfzo 10244
Description: An integer increased by another integer is an element of a half-open integer range if and only if the integer is contained in the half-open integer range with bounds decreased by the other integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzomelpfzo  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ( ( M  -  L
)..^ ( N  -  L ) )  <->  ( K  +  L )  e.  ( M..^ N ) ) )

Proof of Theorem elfzomelpfzo
StepHypRef Expression
1 zsubcl 9307 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( M  -  L
)  e.  ZZ )
21ad2ant2rl 511 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( M  -  L
)  e.  ZZ )
3 simpl 109 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
43adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  ZZ )
52, 42thd 175 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  -  L )  e.  ZZ  <->  M  e.  ZZ ) )
6 simpl 109 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
76adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  ZZ )
8 zaddcl 9306 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( K  +  L
)  e.  ZZ )
98adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( K  +  L
)  e.  ZZ )
107, 92thd 175 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ZZ  <->  ( K  +  L )  e.  ZZ ) )
11 zre 9270 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
1211adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
1312adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  RR )
14 zre 9270 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
1514adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR )
1615adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  L  e.  RR )
17 zre 9270 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
1817adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  K  e.  RR )
1918adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  RR )
2013, 16, 19lesubaddd 8512 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  -  L )  <_  K  <->  M  <_  ( K  +  L ) ) )
215, 10, 203anbi123d 1322 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( M  -  L )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  ( M  -  L )  <_  K )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( K  +  L )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( K  +  L
) ) ) )
22 eluz2 9547 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  L )
)  <->  ( ( M  -  L )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  ( M  -  L )  <_  K ) )
23 eluz2 9547 . . . 4  |-  ( ( K  +  L )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( K  +  L )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( K  +  L
) ) )
2421, 22, 233bitr4g 223 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  (
ZZ>= `  ( M  -  L ) )  <->  ( K  +  L )  e.  (
ZZ>= `  M ) ) )
25 zsubcl 9307 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( N  -  L
)  e.  ZZ )
2625ad2ant2l 508 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  ZZ )
27 simplr 528 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
2826, 272thd 175 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  -  L )  e.  ZZ  <->  N  e.  ZZ ) )
29 zre 9270 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
3029adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
3130adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  RR )
3219, 16, 31ltaddsubd 8515 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( ( K  +  L )  <  N  <->  K  <  ( N  -  L ) ) )
3332bicomd 141 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( K  <  ( N  -  L )  <->  ( K  +  L )  <  N ) )
3424, 28, 333anbi123d 1322 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( ( K  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  L ) )  /\  ( N  -  L
)  e.  ZZ  /\  K  <  ( N  -  L ) )  <->  ( ( K  +  L )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  ( K  +  L
)  <  N )
) )
35 elfzo2 10163 . 2  |-  ( K  e.  ( ( M  -  L )..^ ( N  -  L ) )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  L ) )  /\  ( N  -  L
)  e.  ZZ  /\  K  <  ( N  -  L ) ) )
36 elfzo2 10163 . 2  |-  ( ( K  +  L )  e.  ( M..^ N
)  <->  ( ( K  +  L )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  ( K  +  L
)  <  N )
)
3734, 35, 363bitr4g 223 1  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ( ( M  -  L
)..^ ( N  -  L ) )  <->  ( K  +  L )  e.  ( M..^ N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 979    e. wcel 2158   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   RRcr 7823    + caddc 7827    < clt 8005    <_ cle 8006    - cmin 8141   ZZcz 9266   ZZ>=cuz 9541  ..^cfzo 10155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022  df-fzo 10156
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