Theorem elfzomelpfzo 10008

Description: An integer increased by another integer is an element of a half-open integer range if and only if the integer is contained in the half-open integer range with bounds decreased by the other integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzomelpfzo	|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( M - L )..^ ( N - L ) ) <-> ( K + L ) e. ( M..^ N ) ) )

Proof of Theorem elfzomelpfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 9095	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( M - L ) e. ZZ )
2	1	ad2ant2rl 502	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( M - L ) e. ZZ )
3		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
4	3	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
5	2, 4	2thd 174	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( M - L ) e. ZZ <-> M e. ZZ ) )
6		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> K e. ZZ )
7	6	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> K e. ZZ )
8		zaddcl 9094	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( K + L ) e. ZZ )
9	8	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K + L ) e. ZZ )
10	7, 9	2thd 174	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K e. ZZ <-> ( K + L ) e. ZZ ) )
11		zre 9058	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
12	11	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
13	12	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> M e. RR )
14		zre 9058	. . . . . . . 8 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
15	14	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> L e. RR )
16	15	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> L e. RR )
17		zre 9058	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
18	17	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> K e. RR )
19	18	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> K e. RR )
20	13, 16, 19	lesubaddd 8304	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( M - L ) <_ K <-> M <_ ( K + L ) ) )
21	5, 10, 20	3anbi123d 1290	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( ( M - L ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( M - L ) <_ K ) <-> ( M e. ZZ /\ ( K + L ) e. ZZ /\ M <_ ( K + L ) ) ) )
22		eluz2 9332	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` ( M - L ) ) <-> ( ( M - L ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( M - L ) <_ K ) )
23		eluz2 9332	. . . 4 |- ( ( K + L ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( K + L ) e. ZZ /\ M <_ ( K + L ) ) )
24	21, 22, 23	3bitr4g 222	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ZZ>= ` ( M - L ) ) <-> ( K + L ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )
25		zsubcl 9095	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
26	25	ad2ant2l 499	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( N - L ) e. ZZ )
27		simplr 519	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
28	26, 27	2thd 174	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( N - L ) e. ZZ <-> N e. ZZ ) )
29		zre 9058	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
30	29	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
31	30	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> N e. RR )
32	19, 16, 31	ltaddsubd 8307	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( K + L ) < N <-> K < ( N - L ) ) )
33	32	bicomd 140	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K < ( N - L ) <-> ( K + L ) < N ) )
34	24, 28, 33	3anbi123d 1290	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( K e. ( ZZ>= ` ( M - L ) ) /\ ( N - L ) e. ZZ /\ K < ( N - L ) ) <-> ( ( K + L ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ ( K + L ) < N ) ) )
35		elfzo2 9927	. 2 |- ( K e. ( ( M - L )..^ ( N - L ) ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` ( M - L ) ) /\ ( N - L ) e. ZZ /\ K < ( N - L ) ) )
36		elfzo2 9927	. 2 |- ( ( K + L ) e. ( M..^ N ) <-> ( ( K + L ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ ( K + L ) < N ) )
37	34, 35, 36	3bitr4g 222	1 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( M - L )..^ ( N - L ) ) <-> ( K + L ) e. ( M..^ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RRcr 7619   + caddc 7623   < clt 7800   <_ cle 7801   - cmin 7933   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326  ..^cfzo 9919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-fzo 9920

This theorem is referenced by: (None)