Theorem elfzomelpfzo 10307

Description: An integer increased by another integer is an element of a half-open integer range if and only if the integer is contained in the half-open integer range with bounds decreased by the other integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzomelpfzo	|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( M - L )..^ ( N - L ) ) <-> ( K + L ) e. ( M..^ N ) ) )

Proof of Theorem elfzomelpfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 9367	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( M - L ) e. ZZ )
2	1	ad2ant2rl 511	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( M - L ) e. ZZ )
3		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
5	2, 4	2thd 175	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( M - L ) e. ZZ <-> M e. ZZ ) )
6		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> K e. ZZ )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> K e. ZZ )
8		zaddcl 9366	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( K + L ) e. ZZ )
9	8	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K + L ) e. ZZ )
10	7, 9	2thd 175	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K e. ZZ <-> ( K + L ) e. ZZ ) )
11		zre 9330	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
12	11	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
13	12	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> M e. RR )
14		zre 9330	. . . . . . . 8 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> L e. RR )
16	15	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> L e. RR )
17		zre 9330	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
18	17	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> K e. RR )
19	18	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> K e. RR )
20	13, 16, 19	lesubaddd 8569	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( M - L ) <_ K <-> M <_ ( K + L ) ) )
21	5, 10, 20	3anbi123d 1323	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( ( M - L ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( M - L ) <_ K ) <-> ( M e. ZZ /\ ( K + L ) e. ZZ /\ M <_ ( K + L ) ) ) )
22		eluz2 9607	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` ( M - L ) ) <-> ( ( M - L ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( M - L ) <_ K ) )
23		eluz2 9607	. . . 4 |- ( ( K + L ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( K + L ) e. ZZ /\ M <_ ( K + L ) ) )
24	21, 22, 23	3bitr4g 223	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ZZ>= ` ( M - L ) ) <-> ( K + L ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )
25		zsubcl 9367	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
26	25	ad2ant2l 508	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( N - L ) e. ZZ )
27		simplr 528	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
28	26, 27	2thd 175	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( N - L ) e. ZZ <-> N e. ZZ ) )
29		zre 9330	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
30	29	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
31	30	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> N e. RR )
32	19, 16, 31	ltaddsubd 8572	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( K + L ) < N <-> K < ( N - L ) ) )
33	32	bicomd 141	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K < ( N - L ) <-> ( K + L ) < N ) )
34	24, 28, 33	3anbi123d 1323	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( K e. ( ZZ>= ` ( M - L ) ) /\ ( N - L ) e. ZZ /\ K < ( N - L ) ) <-> ( ( K + L ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ ( K + L ) < N ) ) )
35		elfzo2 10225	. 2 |- ( K e. ( ( M - L )..^ ( N - L ) ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` ( M - L ) ) /\ ( N - L ) e. ZZ /\ K < ( N - L ) ) )
36		elfzo2 10225	. 2 |- ( ( K + L ) e. ( M..^ N ) <-> ( ( K + L ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ ( K + L ) < N ) )
37	34, 35, 36	3bitr4g 223	1 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( M - L )..^ ( N - L ) ) <-> ( K + L ) e. ( M..^ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   RRcr 7878   + caddc 7882   < clt 8061   <_ cle 8062   - cmin 8197   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601  ..^cfzo 10217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-fzo 10218

This theorem is referenced by: (None)