Theorem elfzomelpfzo 10358

Description: An integer increased by another integer is an element of a half-open integer range if and only if the integer is contained in the half-open integer range with bounds decreased by the other integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzomelpfzo	|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( M - L )..^ ( N - L ) ) <-> ( K + L ) e. ( M..^ N ) ) )

Proof of Theorem elfzomelpfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 9412	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( M - L ) e. ZZ )
2	1	ad2ant2rl 511	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( M - L ) e. ZZ )
3		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
5	2, 4	2thd 175	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( M - L ) e. ZZ <-> M e. ZZ ) )
6		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> K e. ZZ )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> K e. ZZ )
8		zaddcl 9411	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( K + L ) e. ZZ )
9	8	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K + L ) e. ZZ )
10	7, 9	2thd 175	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K e. ZZ <-> ( K + L ) e. ZZ ) )
11		zre 9375	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
12	11	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
13	12	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> M e. RR )
14		zre 9375	. . . . . . . 8 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> L e. RR )
16	15	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> L e. RR )
17		zre 9375	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
18	17	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> K e. RR )
19	18	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> K e. RR )
20	13, 16, 19	lesubaddd 8614	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( M - L ) <_ K <-> M <_ ( K + L ) ) )
21	5, 10, 20	3anbi123d 1324	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( ( M - L ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( M - L ) <_ K ) <-> ( M e. ZZ /\ ( K + L ) e. ZZ /\ M <_ ( K + L ) ) ) )
22		eluz2 9653	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` ( M - L ) ) <-> ( ( M - L ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( M - L ) <_ K ) )
23		eluz2 9653	. . . 4 |- ( ( K + L ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( K + L ) e. ZZ /\ M <_ ( K + L ) ) )
24	21, 22, 23	3bitr4g 223	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ZZ>= ` ( M - L ) ) <-> ( K + L ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )
25		zsubcl 9412	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
26	25	ad2ant2l 508	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( N - L ) e. ZZ )
27		simplr 528	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
28	26, 27	2thd 175	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( N - L ) e. ZZ <-> N e. ZZ ) )
29		zre 9375	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
30	29	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
31	30	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> N e. RR )
32	19, 16, 31	ltaddsubd 8617	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( K + L ) < N <-> K < ( N - L ) ) )
33	32	bicomd 141	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K < ( N - L ) <-> ( K + L ) < N ) )
34	24, 28, 33	3anbi123d 1324	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( K e. ( ZZ>= ` ( M - L ) ) /\ ( N - L ) e. ZZ /\ K < ( N - L ) ) <-> ( ( K + L ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ ( K + L ) < N ) ) )
35		elfzo2 10271	. 2 |- ( K e. ( ( M - L )..^ ( N - L ) ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` ( M - L ) ) /\ ( N - L ) e. ZZ /\ K < ( N - L ) ) )
36		elfzo2 10271	. 2 |- ( ( K + L ) e. ( M..^ N ) <-> ( ( K + L ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ ( K + L ) < N ) )
37	34, 35, 36	3bitr4g 223	1 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( M - L )..^ ( N - L ) ) <-> ( K + L ) e. ( M..^ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2175   class class class wbr 4043   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   RRcr 7923   + caddc 7927   < clt 8106   <_ cle 8107   - cmin 8242   ZZcz 9371   ZZ>=cuz 9647  ..^cfzo 10263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-fz 10130  df-fzo 10264

This theorem is referenced by: (None)