Theorem elfzomelpfzo 10627

Description: An integer increased by another integer is an element of a half-open integer range if and only if the integer is contained in the half-open integer range with bounds decreased by the other integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzomelpfzo	|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( M - L )..^ ( N - L ) ) <-> ( K + L ) e. ( M..^ N ) ) )

Proof of Theorem elfzomelpfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 9664	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( M - L ) e. ZZ )
2	1	ad2ant2rl 515	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( M - L ) e. ZZ )
3		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
5	2, 4	2thd 175	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( M - L ) e. ZZ <-> M e. ZZ ) )
6		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> K e. ZZ )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> K e. ZZ )
8		zaddcl 9663	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( K + L ) e. ZZ )
9	8	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K + L ) e. ZZ )
10	7, 9	2thd 175	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K e. ZZ <-> ( K + L ) e. ZZ ) )
11		zre 9627	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
12	11	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
13	12	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> M e. RR )
14		zre 9627	. . . . . . . 8 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> L e. RR )
16	15	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> L e. RR )
17		zre 9627	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
18	17	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> K e. RR )
19	18	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> K e. RR )
20	13, 16, 19	lesubaddd 8860	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( M - L ) <_ K <-> M <_ ( K + L ) ) )
21	5, 10, 20	3anbi123d 1353	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( ( M - L ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( M - L ) <_ K ) <-> ( M e. ZZ /\ ( K + L ) e. ZZ /\ M <_ ( K + L ) ) ) )
22		eluz2 9906	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` ( M - L ) ) <-> ( ( M - L ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( M - L ) <_ K ) )
23		eluz2 9906	. . . 4 |- ( ( K + L ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( K + L ) e. ZZ /\ M <_ ( K + L ) ) )
24	21, 22, 23	3bitr4g 223	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ZZ>= ` ( M - L ) ) <-> ( K + L ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )
25		zsubcl 9664	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
26	25	ad2ant2l 512	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( N - L ) e. ZZ )
27		simplr 533	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
28	26, 27	2thd 175	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( N - L ) e. ZZ <-> N e. ZZ ) )
29		zre 9627	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
30	29	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
31	30	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> N e. RR )
32	19, 16, 31	ltaddsubd 8863	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( K + L ) < N <-> K < ( N - L ) ) )
33	32	bicomd 141	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K < ( N - L ) <-> ( K + L ) < N ) )
34	24, 28, 33	3anbi123d 1353	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( K e. ( ZZ>= ` ( M - L ) ) /\ ( N - L ) e. ZZ /\ K < ( N - L ) ) <-> ( ( K + L ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ ( K + L ) < N ) ) )
35		elfzo2 10535	. 2 |- ( K e. ( ( M - L )..^ ( N - L ) ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` ( M - L ) ) /\ ( N - L ) e. ZZ /\ K < ( N - L ) ) )
36		elfzo2 10535	. 2 |- ( ( K + L ) e. ( M..^ N ) <-> ( ( K + L ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ ( K + L ) < N ) )
37	34, 35, 36	3bitr4g 223	1 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( M - L )..^ ( N - L ) ) <-> ( K + L ) e. ( M..^ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   RRcr 8168   + caddc 8172   < clt 8350   <_ cle 8351   - cmin 8487   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900  ..^cfzo 10527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528

This theorem is referenced by:  pfxccatin12lem2a  11477  clwwlkccatlem  16555