Theorem elfzomelpfzo 10263

Description: An integer increased by another integer is an element of a half-open integer range if and only if the integer is contained in the half-open integer range with bounds decreased by the other integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzomelpfzo	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝑀 − 𝐿)..^(𝑁 − 𝐿)) ↔ (𝐾 + 𝐿) ∈ (𝑀..^𝑁)))

Proof of Theorem elfzomelpfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 9325	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ)
2	1	ad2ant2rl 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ)
3		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
5	2, 4	2thd 175	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ↔ 𝑀 ∈ ℤ))
6		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
7	6	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
8		zaddcl 9324	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ)
9	8	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ)
10	7, 9	2thd 175	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ↔ (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ))
11		zre 9288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
13	12	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
14		zre 9288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
16	15	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
17		zre 9288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
18	17	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
19	18	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
20	13, 16, 19	lesubaddd 8530	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑀 − 𝐿) ≤ 𝐾 ↔ 𝑀 ≤ (𝐾 + 𝐿)))
21	5, 10, 20	3anbi123d 1323	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (((𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝐿) ≤ 𝐾) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝐾 + 𝐿))))
22		eluz2 9565	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝐿)) ↔ ((𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝐿) ≤ 𝐾))
23		eluz2 9565	. . . 4 ⊢ ((𝐾 + 𝐿) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝐾 + 𝐿)))
24	21, 22, 23	3bitr4g 223	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝐿)) ↔ (𝐾 + 𝐿) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
25		zsubcl 9325	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
26	25	ad2ant2l 508	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
27		simplr 528	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
28	26, 27	2thd 175	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
29		zre 9288	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
30	29	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
31	30	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
32	19, 16, 31	ltaddsubd 8533	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐾 + 𝐿) < 𝑁 ↔ 𝐾 < (𝑁 − 𝐿)))
33	32	bicomd 141	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 < (𝑁 − 𝐿) ↔ (𝐾 + 𝐿) < 𝑁))
34	24, 28, 33	3anbi123d 1323	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝐿)) ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝐾 < (𝑁 − 𝐿)) ↔ ((𝐾 + 𝐿) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐿) < 𝑁)))
35		elfzo2 10182	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 − 𝐿)..^(𝑁 − 𝐿)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝐿)) ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝐾 < (𝑁 − 𝐿)))
36		elfzo2 10182	. 2 ⊢ ((𝐾 + 𝐿) ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ ((𝐾 + 𝐿) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐿) < 𝑁))
37	34, 35, 36	3bitr4g 223	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝑀 − 𝐿)..^(𝑁 − 𝐿)) ↔ (𝐾 + 𝐿) ∈ (𝑀..^𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  ‘cfv 5235  (class class class)co 5897  ℝcr 7841   + caddc 7845   < clt 8023   ≤ cle 8024   − cmin 8159  ℤcz 9284  ℤ_≥cuz 9559  ..^cfzo 10174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-fz 10041  df-fzo 10175

This theorem is referenced by: (None)