Theorem elfzomelpfzo 10632

Description: An integer increased by another integer is an element of a half-open integer range if and only if the integer is contained in the half-open integer range with bounds decreased by the other integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzomelpfzo	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝑀 − 𝐿)..^(𝑁 − 𝐿)) ↔ (𝐾 + 𝐿) ∈ (𝑀..^𝑁)))

Proof of Theorem elfzomelpfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 9668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ)
2	1	ad2ant2rl 515	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ)
3		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
5	2, 4	2thd 175	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ↔ 𝑀 ∈ ℤ))
6		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
7	6	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
8		zaddcl 9667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ)
9	8	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ)
10	7, 9	2thd 175	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ↔ (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ))
11		zre 9631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
13	12	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
14		zre 9631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
16	15	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
17		zre 9631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
18	17	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
19	18	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
20	13, 16, 19	lesubaddd 8864	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑀 − 𝐿) ≤ 𝐾 ↔ 𝑀 ≤ (𝐾 + 𝐿)))
21	5, 10, 20	3anbi123d 1353	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (((𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝐿) ≤ 𝐾) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝐾 + 𝐿))))
22		eluz2 9910	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝐿)) ↔ ((𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝐿) ≤ 𝐾))
23		eluz2 9910	. . . 4 ⊢ ((𝐾 + 𝐿) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝐾 + 𝐿)))
24	21, 22, 23	3bitr4g 223	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝐿)) ↔ (𝐾 + 𝐿) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
25		zsubcl 9668	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
26	25	ad2ant2l 512	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
27		simplr 533	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
28	26, 27	2thd 175	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
29		zre 9631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
30	29	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
31	30	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
32	19, 16, 31	ltaddsubd 8867	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐾 + 𝐿) < 𝑁 ↔ 𝐾 < (𝑁 − 𝐿)))
33	32	bicomd 141	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 < (𝑁 − 𝐿) ↔ (𝐾 + 𝐿) < 𝑁))
34	24, 28, 33	3anbi123d 1353	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝐿)) ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝐾 < (𝑁 − 𝐿)) ↔ ((𝐾 + 𝐿) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐿) < 𝑁)))
35		elfzo2 10540	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 − 𝐿)..^(𝑁 − 𝐿)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝐿)) ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝐾 < (𝑁 − 𝐿)))
36		elfzo2 10540	. 2 ⊢ ((𝐾 + 𝐿) ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ ((𝐾 + 𝐿) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐿) < 𝑁))
37	34, 35, 36	3bitr4g 223	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝑀 − 𝐿)..^(𝑁 − 𝐿)) ↔ (𝐾 + 𝐿) ∈ (𝑀..^𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℝcr 8172   + caddc 8176   < clt 8354   ≤ cle 8355   − cmin 8491  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904  ..^cfzo 10532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-fzo 10533

This theorem is referenced by:  pfxccatin12lem2a  11482  clwwlkccatlem  16624