ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzomelpfzo GIF version

Theorem elfzomelpfzo 10187
Description: An integer increased by another integer is an element of a half-open integer range if and only if the integer is contained in the half-open integer range with bounds decreased by the other integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzomelpfzo (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝑀𝐿)..^(𝑁𝐿)) ↔ (𝐾 + 𝐿) ∈ (𝑀..^𝑁)))

Proof of Theorem elfzomelpfzo
StepHypRef Expression
1 zsubcl 9253 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀𝐿) ∈ ℤ)
21ad2ant2rl 508 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀𝐿) ∈ ℤ)
3 simpl 108 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
43adantr 274 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
52, 42thd 174 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑀𝐿) ∈ ℤ ↔ 𝑀 ∈ ℤ))
6 simpl 108 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
76adantl 275 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
8 zaddcl 9252 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ)
98adantl 275 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ)
107, 92thd 174 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ↔ (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ))
11 zre 9216 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
1211adantr 274 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
1312adantr 274 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
14 zre 9216 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
1514adantl 275 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
1615adantl 275 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
17 zre 9216 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
1817adantr 274 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
1918adantl 275 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
2013, 16, 19lesubaddd 8461 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑀𝐿) ≤ 𝐾𝑀 ≤ (𝐾 + 𝐿)))
215, 10, 203anbi123d 1307 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (((𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐿) ≤ 𝐾) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝐾 + 𝐿))))
22 eluz2 9493 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀𝐿)) ↔ ((𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐿) ≤ 𝐾))
23 eluz2 9493 . . . 4 ((𝐾 + 𝐿) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝐾 + 𝐿)))
2421, 22, 233bitr4g 222 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀𝐿)) ↔ (𝐾 + 𝐿) ∈ (ℤ𝑀)))
25 zsubcl 9253 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
2625ad2ant2l 505 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
27 simplr 525 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2826, 272thd 174 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑁𝐿) ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
29 zre 9216 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3029adantl 275 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
3130adantr 274 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
3219, 16, 31ltaddsubd 8464 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐾 + 𝐿) < 𝑁𝐾 < (𝑁𝐿)))
3332bicomd 140 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 < (𝑁𝐿) ↔ (𝐾 + 𝐿) < 𝑁))
3424, 28, 333anbi123d 1307 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀𝐿)) ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝐾 < (𝑁𝐿)) ↔ ((𝐾 + 𝐿) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐿) < 𝑁)))
35 elfzo2 10106 . 2 (𝐾 ∈ ((𝑀𝐿)..^(𝑁𝐿)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀𝐿)) ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝐾 < (𝑁𝐿)))
36 elfzo2 10106 . 2 ((𝐾 + 𝐿) ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ ((𝐾 + 𝐿) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐿) < 𝑁))
3734, 35, 363bitr4g 222 1 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝑀𝐿)..^(𝑁𝐿)) ↔ (𝐾 + 𝐿) ∈ (𝑀..^𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 973  wcel 2141   class class class wbr 3989  cfv 5198  (class class class)co 5853  cr 7773   + caddc 7777   < clt 7954  cle 7955  cmin 8090  cz 9212  cuz 9487  ..^cfzo 10098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator