Theorem elfzonlteqm1 10091

Description: If an element of a half-open integer range is not less than the upper bound of the range decreased by 1, it must be equal to the upper bound of the range decreased by 1. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonlteqm1	|- ( ( A e. ( 0..^ B ) /\ -. A < ( B - 1 ) ) -> A = ( B - 1 ) )

Proof of Theorem elfzonlteqm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9161	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		elfzo0 10063	. . . . 5 |- ( A e. ( 0..^ B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) )
3		elnnuz 9458	. . . . . . . 8 |- ( B e. NN <-> B e. ( ZZ>= ` 1 ) )
4	3	biimpi 119	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> B e. ( ZZ>= ` 1 ) )
5		0p1e1 8930	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 1 ) = 1
6	5	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( B e. NN -> ( 0 + 1 ) = 1 )
7	6	fveq2d 5469	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 1 ) )
8	4, 7	eleqtrrd 2237	. . . . . 6 |- ( B e. NN -> B e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
9	8	3ad2ant2 1004	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) -> B e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
10	2, 9	sylbi 120	. . . 4 |- ( A e. ( 0..^ B ) -> B e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
11		fzosplitsnm1 10090	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( 0..^ B ) = ( ( 0..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
12	1, 10, 11	sylancr 411	. . 3 |- ( A e. ( 0..^ B ) -> ( 0..^ B ) = ( ( 0..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
13		eleq2 2221	. . . 4 |- ( ( 0..^ B ) = ( ( 0..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) -> ( A e. ( 0..^ B ) <-> A e. ( ( 0..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) ) )
14		elun 3248	. . . . 5 |- ( A e. ( ( 0..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) <-> ( A e. ( 0..^ ( B - 1 ) ) \/ A e. { ( B - 1 ) } ) )
15		elfzo0 10063	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0..^ ( B - 1 ) ) <-> ( A e. NN0 /\ ( B - 1 ) e. NN /\ A < ( B - 1 ) ) )
16		pm2.24 611	. . . . . . . 8 |- ( A < ( B - 1 ) -> ( -. A < ( B - 1 ) -> A = ( B - 1 ) ) )
17	16	3ad2ant3 1005	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ ( B - 1 ) e. NN /\ A < ( B - 1 ) ) -> ( -. A < ( B - 1 ) -> A = ( B - 1 ) ) )
18	15, 17	sylbi 120	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0..^ ( B - 1 ) ) -> ( -. A < ( B - 1 ) -> A = ( B - 1 ) ) )
19		elsni 3578	. . . . . . 7 |- ( A e. { ( B - 1 ) } -> A = ( B - 1 ) )
20	19	a1d 22	. . . . . 6 |- ( A e. { ( B - 1 ) } -> ( -. A < ( B - 1 ) -> A = ( B - 1 ) ) )
21	18, 20	jaoi 706	. . . . 5 |- ( ( A e. ( 0..^ ( B - 1 ) ) \/ A e. { ( B - 1 ) } ) -> ( -. A < ( B - 1 ) -> A = ( B - 1 ) ) )
22	14, 21	sylbi 120	. . . 4 |- ( A e. ( ( 0..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) -> ( -. A < ( B - 1 ) -> A = ( B - 1 ) ) )
23	13, 22	syl6bi 162	. . 3 |- ( ( 0..^ B ) = ( ( 0..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) -> ( A e. ( 0..^ B ) -> ( -. A < ( B - 1 ) -> A = ( B - 1 ) ) ) )
24	12, 23	mpcom 36	. 2 |- ( A e. ( 0..^ B ) -> ( -. A < ( B - 1 ) -> A = ( B - 1 ) ) )
25	24	imp 123	1 |- ( ( A e. ( 0..^ B ) /\ -. A < ( B - 1 ) ) -> A = ( B - 1 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   u. cun 3100   {csn 3560   class class class wbr 3965   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   0cc0 7715   1c1 7716   + caddc 7718   < clt 7895   - cmin 8029   NNcn 8816   NN0cn0 9073   ZZcz 9150   ZZ>=cuz 9422  ..^cfzo 10023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-addcom 7815  ax-addass 7817  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-inn 8817  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-fz 9895  df-fzo 10024

This theorem is referenced by: (None)