Theorem elfzonlteqm1 10280

Description: If an element of a half-open integer range is not less than the upper bound of the range decreased by 1, it must be equal to the upper bound of the range decreased by 1. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonlteqm1	|- ( ( A e. ( 0..^ B ) /\ -. A < ( B - 1 ) ) -> A = ( B - 1 ) )

Proof of Theorem elfzonlteqm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9331	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		elfzo0 10252	. . . . 5 |- ( A e. ( 0..^ B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) )
3		elnnuz 9632	. . . . . . . 8 |- ( B e. NN <-> B e. ( ZZ>= ` 1 ) )
4	3	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> B e. ( ZZ>= ` 1 ) )
5		0p1e1 9098	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 1 ) = 1
6	5	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( B e. NN -> ( 0 + 1 ) = 1 )
7	6	fveq2d 5559	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 1 ) )
8	4, 7	eleqtrrd 2273	. . . . . 6 |- ( B e. NN -> B e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
9	8	3ad2ant2 1021	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) -> B e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
10	2, 9	sylbi 121	. . . 4 |- ( A e. ( 0..^ B ) -> B e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
11		fzosplitsnm1 10279	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( 0..^ B ) = ( ( 0..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
12	1, 10, 11	sylancr 414	. . 3 |- ( A e. ( 0..^ B ) -> ( 0..^ B ) = ( ( 0..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
13		eleq2 2257	. . . 4 |- ( ( 0..^ B ) = ( ( 0..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) -> ( A e. ( 0..^ B ) <-> A e. ( ( 0..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) ) )
14		elun 3301	. . . . 5 |- ( A e. ( ( 0..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) <-> ( A e. ( 0..^ ( B - 1 ) ) \/ A e. { ( B - 1 ) } ) )
15		elfzo0 10252	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0..^ ( B - 1 ) ) <-> ( A e. NN0 /\ ( B - 1 ) e. NN /\ A < ( B - 1 ) ) )
16		pm2.24 622	. . . . . . . 8 |- ( A < ( B - 1 ) -> ( -. A < ( B - 1 ) -> A = ( B - 1 ) ) )
17	16	3ad2ant3 1022	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ ( B - 1 ) e. NN /\ A < ( B - 1 ) ) -> ( -. A < ( B - 1 ) -> A = ( B - 1 ) ) )
18	15, 17	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0..^ ( B - 1 ) ) -> ( -. A < ( B - 1 ) -> A = ( B - 1 ) ) )
19		elsni 3637	. . . . . . 7 |- ( A e. { ( B - 1 ) } -> A = ( B - 1 ) )
20	19	a1d 22	. . . . . 6 |- ( A e. { ( B - 1 ) } -> ( -. A < ( B - 1 ) -> A = ( B - 1 ) ) )
21	18, 20	jaoi 717	. . . . 5 |- ( ( A e. ( 0..^ ( B - 1 ) ) \/ A e. { ( B - 1 ) } ) -> ( -. A < ( B - 1 ) -> A = ( B - 1 ) ) )
22	14, 21	sylbi 121	. . . 4 |- ( A e. ( ( 0..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) -> ( -. A < ( B - 1 ) -> A = ( B - 1 ) ) )
23	13, 22	biimtrdi 163	. . 3 |- ( ( 0..^ B ) = ( ( 0..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) -> ( A e. ( 0..^ B ) -> ( -. A < ( B - 1 ) -> A = ( B - 1 ) ) ) )
24	12, 23	mpcom 36	. 2 |- ( A e. ( 0..^ B ) -> ( -. A < ( B - 1 ) -> A = ( B - 1 ) ) )
25	24	imp 124	1 |- ( ( A e. ( 0..^ B ) /\ -. A < ( B - 1 ) ) -> A = ( B - 1 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   u. cun 3152   {csn 3619   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   < clt 8056   - cmin 8192   NNcn 8984   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595  ..^cfzo 10211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-fzo 10212

This theorem is referenced by: (None)