Theorem elfzonlteqm1 10213

Description: If an element of a half-open integer range is not less than the upper bound of the range decreased by 1, it must be equal to the upper bound of the range decreased by 1. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonlteqm1	⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < (𝐵 − 1)) → 𝐴 = (𝐵 − 1))

Proof of Theorem elfzonlteqm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9267	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		elfzo0 10185	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
3		elnnuz 9567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘1))
4	3	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘1))
5		0p1e1 9036	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
6	5	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0 + 1) = 1)
7	6	fveq2d 5521	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (ℤ≥‘(0 + 1)) = (ℤ≥‘1))
8	4, 7	eleqtrrd 2257	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
9	8	3ad2ant2 1019	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
10	2, 9	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
11		fzosplitsnm1 10212	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → (0..^𝐵) = ((0..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))
12	1, 10, 11	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (0..^𝐵) = ((0..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))
13		eleq2 2241	. . . 4 ⊢ ((0..^𝐵) = ((0..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}) → (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ((0..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)})))
14		elun 3278	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((0..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}) ↔ (𝐴 ∈ (0..^(𝐵 − 1)) ∨ 𝐴 ∈ {(𝐵 − 1)}))
15		elfzo0 10185	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^(𝐵 − 1)) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (𝐵 − 1)))
16		pm2.24 621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 < (𝐵 − 1) → (¬ 𝐴 < (𝐵 − 1) → 𝐴 = (𝐵 − 1)))
17	16	3ad2ant3 1020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (𝐵 − 1)) → (¬ 𝐴 < (𝐵 − 1) → 𝐴 = (𝐵 − 1)))
18	15, 17	sylbi 121	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^(𝐵 − 1)) → (¬ 𝐴 < (𝐵 − 1) → 𝐴 = (𝐵 − 1)))
19		elsni 3612	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ {(𝐵 − 1)} → 𝐴 = (𝐵 − 1))
20	19	a1d 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ {(𝐵 − 1)} → (¬ 𝐴 < (𝐵 − 1) → 𝐴 = (𝐵 − 1)))
21	18, 20	jaoi 716	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 − 1)) ∨ 𝐴 ∈ {(𝐵 − 1)}) → (¬ 𝐴 < (𝐵 − 1) → 𝐴 = (𝐵 − 1)))
22	14, 21	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ((0..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}) → (¬ 𝐴 < (𝐵 − 1) → 𝐴 = (𝐵 − 1)))
23	13, 22	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ ((0..^𝐵) = ((0..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}) → (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (¬ 𝐴 < (𝐵 − 1) → 𝐴 = (𝐵 − 1))))
24	12, 23	mpcom 36	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (¬ 𝐴 < (𝐵 − 1) → 𝐴 = (𝐵 − 1)))
25	24	imp 124	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < (𝐵 − 1)) → 𝐴 = (𝐵 − 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∪ cun 3129  {csn 3594   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878  0cc0 7814  1c1 7815   + caddc 7817   < clt 7995   − cmin 8131  ℕcn 8922  ℕ₀cn0 9179  ℤcz 9256  ℤ_≥cuz 9531  ..^cfzo 10145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-fz 10012  df-fzo 10146

This theorem is referenced by: (None)