ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzosplitsnm1 Unicode version
Theorem fzosplitsnm1 10279
Description: Removing a singleton from a half-open integer range at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitsnm1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( A..^ B ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
Proof of Theorem fzosplitsnm1
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9604 . . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) -> B e. ZZ )
21zcnd 9443 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) -> B e. CC )
32adantl 277 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> B e. CC )
4 ax-1cn 7967 . . . 4 |- 1 e. CC
5 npcan 8230 . . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( B - 1 ) + 1 ) = B )
65eqcomd 2199 . . . 4 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC ) -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
73, 4, 6sylancl 413 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
87oveq2d 5935 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( A..^ B ) = ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) )
9 eluzp1m1 9619 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) )
101adantl 277 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> B e. ZZ )
11 peano2zm 9358 . . . . 5 |- ( B e. ZZ -> ( B - 1 ) e. ZZ )
12 uzid 9609 . . . . 5 |- ( ( B - 1 ) e. ZZ -> ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) )
13 peano2uz 9651 . . . . 5 |- ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) -> ( ( B - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) )
1410, 11, 12, 134syl 18 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( ( B - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) )
15 elfzuzb 10088 . . . 4 |- ( ( B - 1 ) e. ( A ... ( ( B - 1 ) + 1 ) ) <-> ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( ( B - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) ) )
169, 14, 15sylanbrc 417 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( B - 1 ) e. ( A ... ( ( B - 1 ) + 1 ) ) )
17 fzosplit 10247 . . 3 |- ( ( B - 1 ) e. ( A ... ( ( B - 1 ) + 1 ) ) -> ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) ) )
1816, 17syl 14 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) ) )
191, 11syl 14 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) -> ( B - 1 ) e. ZZ )
2019adantl 277 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( B - 1 ) e. ZZ )
21 fzosn 10275 . . . 4 |- ( ( B - 1 ) e. ZZ -> ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = { ( B - 1 ) } )
2220, 21syl 14 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = { ( B - 1 ) } )
2322uneq2d 3314 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
248, 18, 233eqtrd 2230 1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( A..^ B ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   u. cun 3152   {csn 3619   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   CCcc 7872   1c1 7875   + caddc 7877   - cmin 8192   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   ...cfz 10077  ..^cfzo 10211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-fzo 10212
This theorem is referenced by:  elfzonlteqm1  10280
  Copyright terms: Public domain W3C validator