Theorem fzosplitsnm1 9681

Description: Removing a singleton from a half-open integer range at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplitsnm1	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( A..^ B ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )

Proof of Theorem fzosplitsnm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9089	. . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) -> B e. ZZ )
2	1	zcnd 8930	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) -> B e. CC )
3	2	adantl 272	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> B e. CC )
4		ax-1cn 7499	. . . 4 |- 1 e. CC
5		npcan 7752	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( B - 1 ) + 1 ) = B )
6	5	eqcomd 2094	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC ) -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
7	3, 4, 6	sylancl 405	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
8	7	oveq2d 5682	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( A..^ B ) = ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) )
9		eluzp1m1 9103	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) )
10	1	adantl 272	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> B e. ZZ )
11		peano2zm 8849	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> ( B - 1 ) e. ZZ )
12		uzid 9094	. . . . 5 |- ( ( B - 1 ) e. ZZ -> ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) )
13		peano2uz 9132	. . . . 5 |- ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) -> ( ( B - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) )
14	10, 11, 12, 13	4syl 18	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( ( B - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) )
15		elfzuzb 9495	. . . 4 |- ( ( B - 1 ) e. ( A ... ( ( B - 1 ) + 1 ) ) <-> ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( ( B - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) ) )
16	9, 14, 15	sylanbrc 409	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( B - 1 ) e. ( A ... ( ( B - 1 ) + 1 ) ) )
17		fzosplit 9649	. . 3 |- ( ( B - 1 ) e. ( A ... ( ( B - 1 ) + 1 ) ) -> ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) ) )
18	16, 17	syl 14	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) ) )
19	1, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) -> ( B - 1 ) e. ZZ )
20	19	adantl 272	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( B - 1 ) e. ZZ )
21		fzosn 9677	. . . 4 |- ( ( B - 1 ) e. ZZ -> ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = { ( B - 1 ) } )
22	20, 21	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = { ( B - 1 ) } )
23	22	uneq2d 3155	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
24	8, 18, 23	3eqtrd 2125	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( A..^ B ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   u. cun 2998   {csn 3450   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   CCcc 7409   1c1 7412   + caddc 7414   - cmin 7714   ZZcz 8811   ZZ>=cuz 9080   ...cfz 9485  ..^cfzo 9614

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-fz 9486  df-fzo 9615

This theorem is referenced by:  elfzonlteqm1  9682