ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzosplitsnm1 Unicode version
Theorem fzosplitsnm1 10017
Description: Removing a singleton from a half-open integer range at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitsnm1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( A..^ B ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
Proof of Theorem fzosplitsnm1
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9359 . . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) -> B e. ZZ )
21zcnd 9198 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) -> B e. CC )
32adantl 275 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> B e. CC )
4 ax-1cn 7737 . . . 4 |- 1 e. CC
5 npcan 7995 . . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( B - 1 ) + 1 ) = B )
65eqcomd 2146 . . . 4 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC ) -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
73, 4, 6sylancl 410 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
87oveq2d 5798 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( A..^ B ) = ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) )
9 eluzp1m1 9373 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) )
101adantl 275 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> B e. ZZ )
11 peano2zm 9116 . . . . 5 |- ( B e. ZZ -> ( B - 1 ) e. ZZ )
12 uzid 9364 . . . . 5 |- ( ( B - 1 ) e. ZZ -> ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) )
13 peano2uz 9405 . . . . 5 |- ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) -> ( ( B - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) )
1410, 11, 12, 134syl 18 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( ( B - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) )
15 elfzuzb 9831 . . . 4 |- ( ( B - 1 ) e. ( A ... ( ( B - 1 ) + 1 ) ) <-> ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( ( B - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) ) )
169, 14, 15sylanbrc 414 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( B - 1 ) e. ( A ... ( ( B - 1 ) + 1 ) ) )
17 fzosplit 9985 . . 3 |- ( ( B - 1 ) e. ( A ... ( ( B - 1 ) + 1 ) ) -> ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) ) )
1816, 17syl 14 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) ) )
191, 11syl 14 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) -> ( B - 1 ) e. ZZ )
2019adantl 275 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( B - 1 ) e. ZZ )
21 fzosn 10013 . . . 4 |- ( ( B - 1 ) e. ZZ -> ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = { ( B - 1 ) } )
2220, 21syl 14 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = { ( B - 1 ) } )
2322uneq2d 3235 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
248, 18, 233eqtrd 2177 1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( A..^ B ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   u. cun 3074   {csn 3532   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   1c1 7645   + caddc 7647   - cmin 7957   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   ...cfz 9821  ..^cfzo 9950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822  df-fzo 9951
This theorem is referenced by:  elfzonlteqm1  10018
  Copyright terms: Public domain W3C validator