ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzosplitsnm1 Unicode version
Theorem fzosplitsnm1 10179
Description: Removing a singleton from a half-open integer range at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitsnm1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( A..^ B ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
Proof of Theorem fzosplitsnm1
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9510 . . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) -> B e. ZZ )
21zcnd 9349 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) -> B e. CC )
32adantl 277 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> B e. CC )
4 ax-1cn 7879 . . . 4 |- 1 e. CC
5 npcan 8140 . . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( B - 1 ) + 1 ) = B )
65eqcomd 2181 . . . 4 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC ) -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
73, 4, 6sylancl 413 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
87oveq2d 5881 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( A..^ B ) = ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) )
9 eluzp1m1 9524 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) )
101adantl 277 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> B e. ZZ )
11 peano2zm 9264 . . . . 5 |- ( B e. ZZ -> ( B - 1 ) e. ZZ )
12 uzid 9515 . . . . 5 |- ( ( B - 1 ) e. ZZ -> ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) )
13 peano2uz 9556 . . . . 5 |- ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) -> ( ( B - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) )
1410, 11, 12, 134syl 18 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( ( B - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) )
15 elfzuzb 9989 . . . 4 |- ( ( B - 1 ) e. ( A ... ( ( B - 1 ) + 1 ) ) <-> ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( ( B - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) ) )
169, 14, 15sylanbrc 417 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( B - 1 ) e. ( A ... ( ( B - 1 ) + 1 ) ) )
17 fzosplit 10147 . . 3 |- ( ( B - 1 ) e. ( A ... ( ( B - 1 ) + 1 ) ) -> ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) ) )
1816, 17syl 14 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) ) )
191, 11syl 14 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) -> ( B - 1 ) e. ZZ )
2019adantl 277 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( B - 1 ) e. ZZ )
21 fzosn 10175 . . . 4 |- ( ( B - 1 ) e. ZZ -> ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = { ( B - 1 ) } )
2220, 21syl 14 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = { ( B - 1 ) } )
2322uneq2d 3287 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
248, 18, 233eqtrd 2212 1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( A..^ B ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2146   u. cun 3125   {csn 3589   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784   1c1 7787   + caddc 7789   - cmin 8102   ZZcz 9226   ZZ>=cuz 9501   ...cfz 9979  ..^cfzo 10112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8893  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-fz 9980  df-fzo 10113
This theorem is referenced by:  elfzonlteqm1  10180
  Copyright terms: Public domain W3C validator