ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzosplitsnm1 Unicode version
Theorem fzosplitsnm1 10165
Description: Removing a singleton from a half-open integer range at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitsnm1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( A..^ B ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
Proof of Theorem fzosplitsnm1
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9496 . . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) -> B e. ZZ )
21zcnd 9335 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) -> B e. CC )
32adantl 275 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> B e. CC )
4 ax-1cn 7867 . . . 4 |- 1 e. CC
5 npcan 8128 . . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( B - 1 ) + 1 ) = B )
65eqcomd 2176 . . . 4 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC ) -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
73, 4, 6sylancl 411 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
87oveq2d 5869 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( A..^ B ) = ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) )
9 eluzp1m1 9510 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) )
101adantl 275 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> B e. ZZ )
11 peano2zm 9250 . . . . 5 |- ( B e. ZZ -> ( B - 1 ) e. ZZ )
12 uzid 9501 . . . . 5 |- ( ( B - 1 ) e. ZZ -> ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) )
13 peano2uz 9542 . . . . 5 |- ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) -> ( ( B - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) )
1410, 11, 12, 134syl 18 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( ( B - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) )
15 elfzuzb 9975 . . . 4 |- ( ( B - 1 ) e. ( A ... ( ( B - 1 ) + 1 ) ) <-> ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( ( B - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( B - 1 ) ) ) )
169, 14, 15sylanbrc 415 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( B - 1 ) e. ( A ... ( ( B - 1 ) + 1 ) ) )
17 fzosplit 10133 . . 3 |- ( ( B - 1 ) e. ( A ... ( ( B - 1 ) + 1 ) ) -> ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) ) )
1816, 17syl 14 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) ) )
191, 11syl 14 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) -> ( B - 1 ) e. ZZ )
2019adantl 275 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( B - 1 ) e. ZZ )
21 fzosn 10161 . . . 4 |- ( ( B - 1 ) e. ZZ -> ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = { ( B - 1 ) } )
2220, 21syl 14 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = { ( B - 1 ) } )
2322uneq2d 3281 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( ( B - 1 )..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
248, 18, 233eqtrd 2207 1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ) -> ( A..^ B ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   u. cun 3119   {csn 3583   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   1c1 7775   + caddc 7777   - cmin 8090   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965  ..^cfzo 10098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099
This theorem is referenced by:  elfzonlteqm1  10166
  Copyright terms: Public domain W3C validator