Theorem eluz2b2 9151

Description: Two ways to say "an integer greater than or equal to 2." (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2b2	|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )

Proof of Theorem eluz2b2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b1 9149	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. ZZ /\ 1 < N ) )
2		1re 7548	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
3		zre 8815	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
4		ltle 7633	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 1 < N -> 1 <_ N ) )
5	2, 3, 4	sylancr 406	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( 1 < N -> 1 <_ N ) )
6	5	imdistani 435	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 < N ) -> ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) )
7		elnnz1 8834	. . . . 5 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) )
8	6, 7	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 < N ) -> N e. NN )
9		simpr 109	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 < N ) -> 1 < N )
10	8, 9	jca 301	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 < N ) -> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
11		nnz 8830	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
12	11	anim1i 334	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ 1 < N ) -> ( N e. ZZ /\ 1 < N ) )
13	10, 12	impbii 125	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 < N ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
14	1, 13	bitri 183	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1439   class class class wbr 3851   ` cfv 5028   RRcr 7410   1c1 7412   < clt 7583   <_ cle 7584   NNcn 8483   2c2 8534   ZZcz 8811   ZZ>=cuz 9080

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-2 8542  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081

This theorem is referenced by:  eluz2b3  9152  nprm  11444  nprmi  11445