Theorem eluz2b2 9671

Description: Two ways to say "an integer greater than or equal to 2". (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2b2	|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )

Proof of Theorem eluz2b2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b1 9669	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. ZZ /\ 1 < N ) )
2		1re 8020	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
3		zre 9324	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
4		ltle 8109	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 1 < N -> 1 <_ N ) )
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( 1 < N -> 1 <_ N ) )
6	5	imdistani 445	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 < N ) -> ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) )
7		elnnz1 9343	. . . . 5 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) )
8	6, 7	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 < N ) -> N e. NN )
9		simpr 110	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 < N ) -> 1 < N )
10	8, 9	jca 306	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 < N ) -> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
11		nnz 9339	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
12	11	anim1i 340	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ 1 < N ) -> ( N e. ZZ /\ 1 < N ) )
13	10, 12	impbii 126	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 < N ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
14	1, 13	bitri 184	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   ` cfv 5255   RRcr 7873   1c1 7875   < clt 8056   <_ cle 8057   NNcn 8984   2c2 9035   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596

This theorem is referenced by:  eluz2b3  9672  nprm  12264  nprmi  12265  pockthlem  12497  prmunb  12503  infpn2  12616