Theorem eluz2b2 9837

Description: Two ways to say "an integer greater than or equal to 2". (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2b2	|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )

Proof of Theorem eluz2b2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b1 9835	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. ZZ /\ 1 < N ) )
2		1re 8178	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
3		zre 9483	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
4		ltle 8267	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 1 < N -> 1 <_ N ) )
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( 1 < N -> 1 <_ N ) )
6	5	imdistani 445	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 < N ) -> ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) )
7		elnnz1 9502	. . . . 5 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) )
8	6, 7	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 < N ) -> N e. NN )
9		simpr 110	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 < N ) -> 1 < N )
10	8, 9	jca 306	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 < N ) -> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
11		nnz 9498	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
12	11	anim1i 340	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ 1 < N ) -> ( N e. ZZ /\ 1 < N ) )
13	10, 12	impbii 126	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 < N ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
14	1, 13	bitri 184	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   ` cfv 5326   RRcr 8031   1c1 8033   < clt 8214   <_ cle 8215   NNcn 9143   2c2 9194   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756

This theorem is referenced by:  eluz2b3  9838  nprm  12696  nprmi  12697  pockthlem  12930  prmunb  12936  infpn2  13078  mersenne  15723  perfectlem2  15726  umgr2cwwkdifex  16278