ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nprm Unicode version
Theorem nprm 11644
Description: A product of two integers greater than one is composite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
nprm |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. ( A x. B ) e. Prime )
Proof of Theorem nprm
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9231 . . . . 5 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ZZ )
21adantr 272 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A e. ZZ )
32zred 9071 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A e. RR )
4 eluz2b2 9293 . . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( B e. NN /\ 1 < B ) )
54simprbi 271 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < B )
65adantl 273 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < B )
7 eluzelz 9231 . . . . . . 7 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. ZZ )
87adantl 273 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> B e. ZZ )
98zred 9071 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> B e. RR )
10 eluz2nn 9260 . . . . . . 7 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. NN )
1110adantr 272 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A e. NN )
1211nngt0d 8668 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 < A )
13 ltmulgt11 8526 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 0 < A ) -> ( 1 < B <-> A < ( A x. B ) ) )
143, 9, 12, 13syl3anc 1197 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 1 < B <-> A < ( A x. B ) ) )
156, 14mpbid 146 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A < ( A x. B ) )
163, 15ltned 7794 . 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A =/= ( A x. B ) )
17 dvdsmul1 11357 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A || ( A x. B ) )
181, 7, 17syl2an 285 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A || ( A x. B ) )
19 isprm4 11640 . . . . . . 7 |- ( ( A x. B ) e. Prime <-> ( ( A x. B ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( ZZ>= ` 2 ) ( x || ( A x. B ) -> x = ( A x. B ) ) ) )
2019simprbi 271 . . . . . 6 |- ( ( A x. B ) e. Prime -> A. x e. ( ZZ>= ` 2 ) ( x || ( A x. B ) -> x = ( A x. B ) ) )
21 breq1 3896 . . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( x || ( A x. B ) <-> A || ( A x. B ) ) )
22 eqeq1 2119 . . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( x = ( A x. B ) <-> A = ( A x. B ) ) )
2321, 22imbi12d 233 . . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( x || ( A x. B ) -> x = ( A x. B ) ) <-> ( A || ( A x. B ) -> A = ( A x. B ) ) ) )
2423rspcv 2754 . . . . . 6 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. x e. ( ZZ>= ` 2 ) ( x || ( A x. B ) -> x = ( A x. B ) ) -> ( A || ( A x. B ) -> A = ( A x. B ) ) ) )
2520, 24syl5 32 . . . . 5 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A x. B ) e. Prime -> ( A || ( A x. B ) -> A = ( A x. B ) ) ) )
2625adantr 272 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A x. B ) e. Prime -> ( A || ( A x. B ) -> A = ( A x. B ) ) ) )
2718, 26mpid 42 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A x. B ) e. Prime -> A = ( A x. B ) ) )
2827necon3ad 2322 . 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A =/= ( A x. B ) -> -. ( A x. B ) e. Prime ) )
2916, 28mpd 13 1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. ( A x. B ) e. Prime )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1312   e. wcel 1461   =/= wne 2280   A.wral 2388   class class class wbr 3893   ` cfv 5079  (class class class)co 5726   RRcr 7540   0cc0 7541   1c1 7542   x. cmul 7546   < clt 7718   NNcn 8624   2c2 8675   ZZcz 8952   ZZ>=cuz 9222   || cdvds 11335   Primecprime 11628
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657  ax-arch 7658  ax-caucvg 7659
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-recs 6154  df-frec 6240  df-1o 6265  df-2o 6266  df-er 6381  df-en 6587  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-inn 8625  df-2 8683  df-3 8684  df-4 8685  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-q 9308  df-rp 9338  df-seqfrec 10106  df-exp 10180  df-cj 10501  df-re 10502  df-im 10503  df-rsqrt 10656  df-abs 10657  df-dvds 11336  df-prm 11629
This theorem is referenced by:  nprmi  11645  dvdsnprmd  11646  sqnprm  11656
  Copyright terms: Public domain W3C validator