ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nprm Unicode version

Theorem nprm 11379
Description: A product of two integers greater than one is composite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
nprm  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  -.  ( A  x.  B )  e.  Prime )

Proof of Theorem nprm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9026 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
21adantr 270 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  A  e.  ZZ )
32zred 8866 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  A  e.  RR )
4 eluz2b2 9088 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( B  e.  NN  /\  1  < 
B ) )
54simprbi 269 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  B )
65adantl 271 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  B )
7 eluzelz 9026 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  B  e.  ZZ )
87adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  B  e.  ZZ )
98zred 8866 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  B  e.  RR )
10 eluz2nn 9055 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
1110adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  A  e.  NN )
1211nngt0d 8464 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <  A )
13 ltmulgt11 8323 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  (
1  <  B  <->  A  <  ( A  x.  B ) ) )
143, 9, 12, 13syl3anc 1174 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 1  <  B  <->  A  <  ( A  x.  B ) ) )
156, 14mpbid 145 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  A  <  ( A  x.  B ) )
163, 15ltned 7596 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  A  =/=  ( A  x.  B
) )
17 dvdsmul1 11092 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  ||  ( A  x.  B ) )
181, 7, 17syl2an 283 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  A  ||  ( A  x.  B )
)
19 isprm4 11375 . . . . . . 7  |-  ( ( A  x.  B )  e.  Prime  <->  ( ( A  x.  B )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( x  ||  ( A  x.  B )  ->  x  =  ( A  x.  B ) ) ) )
2019simprbi 269 . . . . . 6  |-  ( ( A  x.  B )  e.  Prime  ->  A. x  e.  ( ZZ>= `  2 )
( x  ||  ( A  x.  B )  ->  x  =  ( A  x.  B ) ) )
21 breq1 3848 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ||  ( A  x.  B )  <->  A  ||  ( A  x.  B )
) )
22 eqeq1 2094 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
x  =  ( A  x.  B )  <->  A  =  ( A  x.  B
) ) )
2321, 22imbi12d 232 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  ||  ( A  x.  B )  ->  x  =  ( A  x.  B ) )  <-> 
( A  ||  ( A  x.  B )  ->  A  =  ( A  x.  B ) ) ) )
2423rspcv 2718 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. x  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( x 
||  ( A  x.  B )  ->  x  =  ( A  x.  B ) )  -> 
( A  ||  ( A  x.  B )  ->  A  =  ( A  x.  B ) ) ) )
2520, 24syl5 32 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A  x.  B )  e.  Prime  ->  ( A  ||  ( A  x.  B
)  ->  A  =  ( A  x.  B
) ) ) )
2625adantr 270 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( A  x.  B )  e.  Prime  ->  ( A  ||  ( A  x.  B
)  ->  A  =  ( A  x.  B
) ) ) )
2718, 26mpid 41 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( A  x.  B )  e.  Prime  ->  A  =  ( A  x.  B
) ) )
2827necon3ad 2297 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  =/=  ( A  x.  B
)  ->  -.  ( A  x.  B )  e.  Prime ) )
2916, 28mpd 13 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  -.  ( A  x.  B )  e.  Prime )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   A.wral 2359   class class class wbr 3845   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   RRcr 7347   0cc0 7348   1c1 7349    x. cmul 7353    < clt 7520   NNcn 8420   2c2 8471   ZZcz 8748   ZZ>=cuz 9017    || cdvds 11070   Primecprime 11363
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462  ax-caucvg 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-1o 6181  df-2o 6182  df-er 6290  df-en 6456  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-q 9103  df-rp 9133  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-cj 10272  df-re 10273  df-im 10274  df-rsqrt 10427  df-abs 10428  df-dvds 11071  df-prm 11364
This theorem is referenced by:  nprmi  11380  dvdsnprmd  11381  sqnprm  11391
  Copyright terms: Public domain W3C validator