Theorem nprm 12125

Description: A product of two integers greater than one is composite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nprm	|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. ( A x. B ) e. Prime )

Proof of Theorem nprm

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9539	. . . . 5 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ZZ )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A e. ZZ )
3	2	zred 9377	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A e. RR )
4		eluz2b2 9605	. . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( B e. NN /\ 1 < B ) )
5	4	simprbi 275	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < B )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < B )
7		eluzelz 9539	. . . . . . 7 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. ZZ )
8	7	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> B e. ZZ )
9	8	zred 9377	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> B e. RR )
10		eluz2nn 9568	. . . . . . 7 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. NN )
11	10	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A e. NN )
12	11	nngt0d 8965	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 < A )
13		ltmulgt11 8823	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 0 < A ) -> ( 1 < B <-> A < ( A x. B ) ) )
14	3, 9, 12, 13	syl3anc 1238	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 1 < B <-> A < ( A x. B ) ) )
15	6, 14	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A < ( A x. B ) )
16	3, 15	ltned 8073	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A =/= ( A x. B ) )
17		dvdsmul1 11822	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A || ( A x. B ) )
18	1, 7, 17	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A || ( A x. B ) )
19		isprm4 12121	. . . . . . 7 |- ( ( A x. B ) e. Prime <-> ( ( A x. B ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( ZZ>= ` 2 ) ( x || ( A x. B ) -> x = ( A x. B ) ) ) )
20	19	simprbi 275	. . . . . 6 |- ( ( A x. B ) e. Prime -> A. x e. ( ZZ>= ` 2 ) ( x || ( A x. B ) -> x = ( A x. B ) ) )
21		breq1 4008	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( x || ( A x. B ) <-> A || ( A x. B ) ) )
22		eqeq1 2184	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( x = ( A x. B ) <-> A = ( A x. B ) ) )
23	21, 22	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( x || ( A x. B ) -> x = ( A x. B ) ) <-> ( A || ( A x. B ) -> A = ( A x. B ) ) ) )
24	23	rspcv 2839	. . . . . 6 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. x e. ( ZZ>= ` 2 ) ( x || ( A x. B ) -> x = ( A x. B ) ) -> ( A || ( A x. B ) -> A = ( A x. B ) ) ) )
25	20, 24	syl5 32	. . . . 5 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A x. B ) e. Prime -> ( A || ( A x. B ) -> A = ( A x. B ) ) ) )
26	25	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A x. B ) e. Prime -> ( A || ( A x. B ) -> A = ( A x. B ) ) ) )
27	18, 26	mpid 42	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A x. B ) e. Prime -> A = ( A x. B ) ) )
28	27	necon3ad 2389	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A =/= ( A x. B ) -> -. ( A x. B ) e. Prime ) )
29	16, 28	mpd 13	1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. ( A x. B ) e. Prime )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   A.wral 2455   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814   x. cmul 7818   < clt 7994   NNcn 8921   2c2 8972   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530   || cdvds 11796   Primecprime 12109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-er 6537  df-en 6743  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-prm 12110

This theorem is referenced by:  nprmi  12126  dvdsnprmd  12127  sqnprm  12138