Theorem enq0er 7397

Description: The equivalence relation for nonnegative fractions is an equivalence relation. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0er	⊢ ~Q0 Er (ω × N)

Proof of Theorem enq0er

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-enq0 7386	. . . . 5 ⊢ ~Q0 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (ω × N) ∧ 𝑦 ∈ (ω × N)) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑣, 𝑢⟩) ∧ (𝑧 ·o 𝑢) = (𝑤 ·o 𝑣)))}
2	1	relopabi 4737	. . . 4 ⊢ Rel ~Q0
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → Rel ~Q0 )
4		enq0sym 7394	. . . 4 ⊢ (𝑓 ~Q0 𝑔 → 𝑔 ~Q0 𝑓)
5	4	adantl 275	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑓 ~Q0 𝑔) → 𝑔 ~Q0 𝑓)
6		enq0tr 7396	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ~Q0 𝑔 ∧ 𝑔 ~Q0 ℎ) → 𝑓 ~Q0 ℎ)
7	6	adantl 275	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ~Q0 𝑔 ∧ 𝑔 ~Q0 ℎ)) → 𝑓 ~Q0 ℎ)
8		enq0ref 7395	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (ω × N) ↔ 𝑓 ~Q0 𝑓)
9	8	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑓 ∈ (ω × N) ↔ 𝑓 ~Q0 𝑓))
10	3, 5, 7, 9	iserd 6539	. 2 ⊢ (⊤ → ~Q0 Er (ω × N))
11	10	mptru 1357	1 ⊢ ~Q0 Er (ω × N)

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348  ⊤wtru 1349  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141  ⟨cop 3586   class class class wbr 3989  ωcom 4574   × cxp 4609  Rel wrel 4616  (class class class)co 5853   ·_o comu 6393   Er wer 6510  Ncnpi 7234   ~_Q0 ceq0 7248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ni 7266  df-enq0 7386

This theorem is referenced by:  enq0eceq  7399  nqnq0pi  7400  mulcanenq0ec  7407  nnnq0lem1  7408  addnq0mo  7409  mulnq0mo  7410