Theorem enq0er 7436

Description: The equivalence relation for nonnegative fractions is an equivalence relation. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0er	⊢ ~Q0 Er (ω × N)

Proof of Theorem enq0er

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-enq0 7425	. . . . 5 ⊢ ~Q0 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (ω × N) ∧ 𝑦 ∈ (ω × N)) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑣, 𝑢⟩) ∧ (𝑧 ·o 𝑢) = (𝑤 ·o 𝑣)))}
2	1	relopabi 4754	. . . 4 ⊢ Rel ~Q0
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → Rel ~Q0 )
4		enq0sym 7433	. . . 4 ⊢ (𝑓 ~Q0 𝑔 → 𝑔 ~Q0 𝑓)
5	4	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑓 ~Q0 𝑔) → 𝑔 ~Q0 𝑓)
6		enq0tr 7435	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ~Q0 𝑔 ∧ 𝑔 ~Q0 ℎ) → 𝑓 ~Q0 ℎ)
7	6	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ~Q0 𝑔 ∧ 𝑔 ~Q0 ℎ)) → 𝑓 ~Q0 ℎ)
8		enq0ref 7434	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (ω × N) ↔ 𝑓 ~Q0 𝑓)
9	8	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑓 ∈ (ω × N) ↔ 𝑓 ~Q0 𝑓))
10	3, 5, 7, 9	iserd 6563	. 2 ⊢ (⊤ → ~Q0 Er (ω × N))
11	10	mptru 1362	1 ⊢ ~Q0 Er (ω × N)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353  ⊤wtru 1354  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  ⟨cop 3597   class class class wbr 4005  ωcom 4591   × cxp 4626  Rel wrel 4633  (class class class)co 5877   ·_o comu 6417   Er wer 6534  Ncnpi 7273   ~_Q0 ceq0 7287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ni 7305  df-enq0 7425

This theorem is referenced by:  enq0eceq  7438  nqnq0pi  7439  mulcanenq0ec  7446  nnnq0lem1  7447  addnq0mo  7448  mulnq0mo  7449