Theorem enq0er 7590

Description: The equivalence relation for nonnegative fractions is an equivalence relation. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0er	⊢ ~Q0 Er (ω × N)

Proof of Theorem enq0er

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-enq0 7579	. . . . 5 ⊢ ~Q0 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (ω × N) ∧ 𝑦 ∈ (ω × N)) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑣, 𝑢⟩) ∧ (𝑧 ·o 𝑢) = (𝑤 ·o 𝑣)))}
2	1	relopabi 4824	. . . 4 ⊢ Rel ~Q0
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → Rel ~Q0 )
4		enq0sym 7587	. . . 4 ⊢ (𝑓 ~Q0 𝑔 → 𝑔 ~Q0 𝑓)
5	4	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑓 ~Q0 𝑔) → 𝑔 ~Q0 𝑓)
6		enq0tr 7589	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ~Q0 𝑔 ∧ 𝑔 ~Q0 ℎ) → 𝑓 ~Q0 ℎ)
7	6	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ~Q0 𝑔 ∧ 𝑔 ~Q0 ℎ)) → 𝑓 ~Q0 ℎ)
8		enq0ref 7588	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (ω × N) ↔ 𝑓 ~Q0 𝑓)
9	8	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑓 ∈ (ω × N) ↔ 𝑓 ~Q0 𝑓))
10	3, 5, 7, 9	iserd 6676	. 2 ⊢ (⊤ → ~Q0 Er (ω × N))
11	10	mptru 1384	1 ⊢ ~Q0 Er (ω × N)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1375  ⊤wtru 1376  ∃wex 1518   ∈ wcel 2180  ⟨cop 3649   class class class wbr 4062  ωcom 4659   × cxp 4694  Rel wrel 4701  (class class class)co 5974   ·_o comu 6530   Er wer 6647  Ncnpi 7427   ~_Q0 ceq0 7441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-irdg 6486  df-oadd 6536  df-omul 6537  df-er 6650  df-ni 7459  df-enq0 7579

This theorem is referenced by:  enq0eceq  7592  nqnq0pi  7593  mulcanenq0ec  7600  nnnq0lem1  7601  addnq0mo  7602  mulnq0mo  7603