Theorem enq0er 7519

Description: The equivalence relation for nonnegative fractions is an equivalence relation. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0er	⊢ ~Q0 Er (ω × N)

Proof of Theorem enq0er

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-enq0 7508	. . . . 5 ⊢ ~Q0 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (ω × N) ∧ 𝑦 ∈ (ω × N)) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑣, 𝑢⟩) ∧ (𝑧 ·o 𝑢) = (𝑤 ·o 𝑣)))}
2	1	relopabi 4792	. . . 4 ⊢ Rel ~Q0
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → Rel ~Q0 )
4		enq0sym 7516	. . . 4 ⊢ (𝑓 ~Q0 𝑔 → 𝑔 ~Q0 𝑓)
5	4	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑓 ~Q0 𝑔) → 𝑔 ~Q0 𝑓)
6		enq0tr 7518	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ~Q0 𝑔 ∧ 𝑔 ~Q0 ℎ) → 𝑓 ~Q0 ℎ)
7	6	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ~Q0 𝑔 ∧ 𝑔 ~Q0 ℎ)) → 𝑓 ~Q0 ℎ)
8		enq0ref 7517	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (ω × N) ↔ 𝑓 ~Q0 𝑓)
9	8	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑓 ∈ (ω × N) ↔ 𝑓 ~Q0 𝑓))
10	3, 5, 7, 9	iserd 6627	. 2 ⊢ (⊤ → ~Q0 Er (ω × N))
11	10	mptru 1373	1 ⊢ ~Q0 Er (ω × N)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364  ⊤wtru 1365  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ⟨cop 3626   class class class wbr 4034  ωcom 4627   × cxp 4662  Rel wrel 4669  (class class class)co 5925   ·_o comu 6481   Er wer 6598  Ncnpi 7356   ~_Q0 ceq0 7370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-oadd 6487  df-omul 6488  df-er 6601  df-ni 7388  df-enq0 7508

This theorem is referenced by:  enq0eceq  7521  nqnq0pi  7522  mulcanenq0ec  7529  nnnq0lem1  7530  addnq0mo  7531  mulnq0mo  7532