ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulnq0mo Unicode version

Theorem mulnq0mo 7220
Description: There is at most one result from multiplying nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulnq0mo  |-  ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  E* z E. w E. v E. u E. t ( ( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  ) )
Distinct variable groups:    t, A, u, v, w, z    t, B, u, v, w, z

Proof of Theorem mulnq0mo
Dummy variables  f  g  h  q  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enq0er 7207 . . . . . . . . . . . . . 14  |- ~Q0  Er  ( om  X.  N. )
21a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( s  .o  g
) ,  ( f  .o  h ) >. ] ~Q0  ) ) )  -> ~Q0  Er  ( om  X.  N. ) )
3 nnnq0lem1 7218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( s  .o  g
) ,  ( f  .o  h ) >. ] ~Q0  ) ) )  ->  (
( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  (
s  e.  om  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( (
u  e.  om  /\  t  e.  N. )  /\  ( g  e.  om  /\  h  e.  N. )
) )  /\  (
( w  .o  f
)  =  ( v  .o  s )  /\  ( u  .o  h
)  =  ( t  .o  g ) ) ) )
4 mulcmpblnq0 7216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( w  e. 
om  /\  v  e.  N. )  /\  (
s  e.  om  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( (
u  e.  om  /\  t  e.  N. )  /\  ( g  e.  om  /\  h  e.  N. )
) )  ->  (
( ( w  .o  f )  =  ( v  .o  s )  /\  ( u  .o  h )  =  ( t  .o  g ) )  ->  <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t
) >. ~Q0  <.
( s  .o  g
) ,  ( f  .o  h ) >.
) )
54imp 123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  (
s  e.  om  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( (
u  e.  om  /\  t  e.  N. )  /\  ( g  e.  om  /\  h  e.  N. )
) )  /\  (
( w  .o  f
)  =  ( v  .o  s )  /\  ( u  .o  h
)  =  ( t  .o  g ) ) )  ->  <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t
) >. ~Q0  <.
( s  .o  g
) ,  ( f  .o  h ) >.
)
63, 5syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( s  .o  g
) ,  ( f  .o  h ) >. ] ~Q0  ) ) )  ->  <. (
w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ~Q0 
<. ( s  .o  g
) ,  ( f  .o  h ) >.
)
72, 6erthi 6441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( s  .o  g
) ,  ( f  .o  h ) >. ] ~Q0  ) ) )  ->  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
s  .o  g ) ,  ( f  .o  h ) >. ] ~Q0  )
8 simprlr 510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( s  .o  g
) ,  ( f  .o  h ) >. ] ~Q0  ) ) )  ->  z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  )
9 simprrr 512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( s  .o  g
) ,  ( f  .o  h ) >. ] ~Q0  ) ) )  ->  q  =  [ <. ( s  .o  g ) ,  ( f  .o  h )
>. ] ~Q0  )
107, 8, 93eqtr4d 2158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( s  .o  g
) ,  ( f  .o  h ) >. ] ~Q0  ) ) )  ->  z  =  q )
1110expr 370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  ) )  ->  (
( ( A  =  [ <. s ,  f
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( s  .o  g
) ,  ( f  .o  h ) >. ] ~Q0  )  ->  z  =  q ) )
1211exlimdvv 1851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  ) )  ->  ( E. g E. h ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( s  .o  g ) ,  ( f  .o  h )
>. ] ~Q0  )  ->  z  =  q ) )
1312exlimdvv 1851 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  ) )  ->  ( E. s E. f E. g E. h ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( s  .o  g ) ,  ( f  .o  h )
>. ] ~Q0  )  ->  z  =  q ) )
1413ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  ->  ( E. s E. f E. g E. h ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( s  .o  g
) ,  ( f  .o  h ) >. ] ~Q0  )  ->  z  =  q ) ) )
1514exlimdvv 1851 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  ( E. u E. t ( ( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  )  ->  ( E. s E. f E. g E. h ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( s  .o  g
) ,  ( f  .o  h ) >. ] ~Q0  )  ->  z  =  q ) ) )
1615exlimdvv 1851 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  ( E. w E. v E. u E. t ( ( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  )  ->  ( E. s E. f E. g E. h ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( s  .o  g
) ,  ( f  .o  h ) >. ] ~Q0  )  ->  z  =  q ) ) )
1716impd 252 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  (
( E. w E. v E. u E. t
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  /\  E. s E. f E. g E. h ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( s  .o  g
) ,  ( f  .o  h ) >. ] ~Q0  ) )  ->  z  =  q ) )
1817alrimivv 1829 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  )  /\  E. s E. f E. g E. h ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( s  .o  g
) ,  ( f  .o  h ) >. ] ~Q0  ) )  ->  z  =  q ) )
19 opeq12 3675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  =  s  /\  v  =  f )  -> 
<. w ,  v >.  =  <. s ,  f
>. )
2019eceq1d 6431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  =  s  /\  v  =  f )  ->  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  =  [ <. s ,  f
>. ] ~Q0  )
2120eqeq2d 2127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  s  /\  v  =  f )  ->  ( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  <->  A  =  [ <. s ,  f
>. ] ~Q0  ) )
2221anbi1d 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  =  s  /\  v  =  f )  ->  ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  <-> 
( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  ) ) )
23 simpl 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  =  s  /\  v  =  f )  ->  w  =  s )
2423oveq1d 5755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  =  s  /\  v  =  f )  ->  ( w  .o  u
)  =  ( s  .o  u ) )
25 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  =  s  /\  v  =  f )  ->  v  =  f )
2625oveq1d 5755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  =  s  /\  v  =  f )  ->  ( v  .o  t
)  =  ( f  .o  t ) )
2724, 26opeq12d 3681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  =  s  /\  v  =  f )  -> 
<. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >.  =  <. ( s  .o  u ) ,  ( f  .o  t )
>. )
2827eceq1d 6431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  s  /\  v  =  f )  ->  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( s  .o  u ) ,  ( f  .o  t )
>. ] ~Q0  )
2928eqeq2d 2127 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  =  s  /\  v  =  f )  ->  ( q  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  <->  q  =  [ <. ( s  .o  u ) ,  ( f  .o  t )
>. ] ~Q0  ) )
3022, 29anbi12d 462 . . . . . . 7  |-  ( ( w  =  s  /\  v  =  f )  ->  ( ( ( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  <-> 
( ( A  =  [ <. s ,  f
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( s  .o  u
) ,  ( f  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
31 opeq12 3675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  g  /\  t  =  h )  -> 
<. u ,  t >.  =  <. g ,  h >. )
3231eceq1d 6431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  g  /\  t  =  h )  ->  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )
3332eqeq2d 2127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  =  g  /\  t  =  h )  ->  ( B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  <->  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  ) )
3433anbi2d 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  =  g  /\  t  =  h )  ->  ( ( A  =  [ <. s ,  f
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  <-> 
( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  ) ) )
35 simpl 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  g  /\  t  =  h )  ->  u  =  g )
3635oveq2d 5756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  g  /\  t  =  h )  ->  ( s  .o  u
)  =  ( s  .o  g ) )
37 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  g  /\  t  =  h )  ->  t  =  h )
3837oveq2d 5756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  g  /\  t  =  h )  ->  ( f  .o  t
)  =  ( f  .o  h ) )
3936, 38opeq12d 3681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  g  /\  t  =  h )  -> 
<. ( s  .o  u
) ,  ( f  .o  t ) >.  =  <. ( s  .o  g ) ,  ( f  .o  h )
>. )
4039eceq1d 6431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  =  g  /\  t  =  h )  ->  [ <. ( s  .o  u ) ,  ( f  .o  t )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( s  .o  g ) ,  ( f  .o  h )
>. ] ~Q0  )
4140eqeq2d 2127 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  =  g  /\  t  =  h )  ->  ( q  =  [ <. ( s  .o  u
) ,  ( f  .o  t ) >. ] ~Q0  <->  q  =  [ <. ( s  .o  g ) ,  ( f  .o  h )
>. ] ~Q0  ) )
4234, 41anbi12d 462 . . . . . . 7  |-  ( ( u  =  g  /\  t  =  h )  ->  ( ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( s  .o  u
) ,  ( f  .o  t ) >. ] ~Q0  )  <-> 
( ( A  =  [ <. s ,  f
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( s  .o  g
) ,  ( f  .o  h ) >. ] ~Q0  ) ) )
4330, 42cbvex4v 1880 . . . . . 6  |-  ( E. w E. v E. u E. t ( ( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  ) 
<->  E. s E. f E. g E. h ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( s  .o  g ) ,  ( f  .o  h )
>. ] ~Q0  ) )
4443anbi2i 450 . . . . 5  |-  ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  )  /\  E. w E. v E. u E. t
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) )  <->  ( E. w E. v E. u E. t ( ( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  /\  E. s E. f E. g E. h ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( s  .o  g
) ,  ( f  .o  h ) >. ] ~Q0  ) ) )
4544imbi1i 237 . . . 4  |-  ( ( ( E. w E. v E. u E. t
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  /\  E. w E. v E. u E. t
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) )  ->  z  =  q )  <->  ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  )  /\  E. s E. f E. g E. h ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( s  .o  g
) ,  ( f  .o  h ) >. ] ~Q0  ) )  ->  z  =  q ) )
46452albii 1430 . . 3  |-  ( A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  )  /\  E. w E. v E. u E. t
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) )  ->  z  =  q )  <->  A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  )  /\  E. s E. f E. g E. h ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( s  .o  g
) ,  ( f  .o  h ) >. ] ~Q0  ) )  ->  z  =  q ) )
4718, 46sylibr 133 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  )  /\  E. w E. v E. u E. t
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) )  ->  z  =  q ) )
48 eqeq1 2122 . . . . 5  |-  ( z  =  q  ->  (
z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  <-> 
q  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) )
4948anbi2d 457 . . . 4  |-  ( z  =  q  ->  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  <-> 
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
50494exbidv 1824 . . 3  |-  ( z  =  q  ->  ( E. w E. v E. u E. t ( ( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  ) 
<->  E. w E. v E. u E. t ( ( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  ) ) )
5150mo4 2036 . 2  |-  ( E* z E. w E. v E. u E. t
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  <->  A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  /\  E. w E. v E. u E. t
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) )  ->  z  =  q ) )
5247, 51sylibr 133 1  |-  ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  E* z E. w E. v E. u E. t ( ( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1312    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   E*wmo 1976   <.cop 3498   class class class wbr 3897   omcom 4472    X. cxp 4505  (class class class)co 5740    .o comu 6277    Er wer 6392   [cec 6393   /.cqs 6394   N.cnpi 7044   ~Q0 ceq0 7058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-oadd 6283  df-omul 6284  df-er 6395  df-ec 6397  df-qs 6401  df-ni 7076  df-mi 7078  df-enq0 7196
This theorem is referenced by:  mulnnnq0  7222
  Copyright terms: Public domain W3C validator