Theorem mulnq0mo 7623

Description: There is at most one result from multiplying nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulnq0mo	|- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> E* z E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )

Distinct variable groups:   t, A, u, v, w, z   t, B, u, v, w, z

Proof of Theorem mulnq0mo

Dummy variables f g h q s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enq0er 7610	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ~Q0 Er ( om X. N. )
2	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> ~Q0 Er ( om X. N. ) )
3		nnnq0lem1 7621	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) /\ ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) ) )
4		mulcmpblnq0 7619	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) -> ( ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) -> <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ~Q0 <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ) )
5	4	imp 124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) /\ ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) ) -> <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ~Q0 <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. )
6	3, 5	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ~Q0 <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. )
7	2, 6	erthi 6718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 )
8		simprlr 538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 )
9		simprrr 540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 )
10	7, 8, 9	3eqtr4d 2272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> z = q )
11	10	expr 375	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> ( ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) )
12	11	exlimdvv 1944	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> ( E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) )
13	12	exlimdvv 1944	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> ( E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) )
14	13	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) ) )
15	14	exlimdvv 1944	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) ) )
16	15	exlimdvv 1944	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) ) )
17	16	impd 254	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
18	17	alrimivv 1921	. . 3 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
19		opeq12 3858	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> <. w , v >. = <. s , f >. )
20	19	eceq1d 6706	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> [ <. w , v >. ] ~Q0 = [ <. s , f >. ] ~Q0 )
21	20	eqeq2d 2241	. . . . . . . . 9 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 <-> A = [ <. s , f >. ] ~Q0 ) )
22	21	anbi1d 465	. . . . . . . 8 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) <-> ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) ) )
23		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> w = s )
24	23	oveq1d 6009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( w .o u ) = ( s .o u ) )
25		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> v = f )
26	25	oveq1d 6009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( v .o t ) = ( f .o t ) )
27	24, 26	opeq12d 3864	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. = <. ( s .o u ) , ( f .o t ) >. )
28	27	eceq1d 6706	. . . . . . . . 9 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 = [ <. ( s .o u ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 )
29	28	eqeq2d 2241	. . . . . . . 8 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( q = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 <-> q = [ <. ( s .o u ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 ) )
30	22, 29	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o u ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
31		opeq12 3858	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> <. u , t >. = <. g , h >. )
32	31	eceq1d 6706	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> [ <. u , t >. ] ~Q0 = [ <. g , h >. ] ~Q0 )
33	32	eqeq2d 2241	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( B = [ <. u , t >. ] ~Q0 <-> B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) )
34	33	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) <-> ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) ) )
35		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> u = g )
36	35	oveq2d 6010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( s .o u ) = ( s .o g ) )
37		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> t = h )
38	37	oveq2d 6010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( f .o t ) = ( f .o h ) )
39	36, 38	opeq12d 3864	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> <. ( s .o u ) , ( f .o t ) >. = <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. )
40	39	eceq1d 6706	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> [ <. ( s .o u ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 )
41	40	eqeq2d 2241	. . . . . . . 8 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( q = [ <. ( s .o u ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 <-> q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) )
42	34, 41	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o u ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) )
43	30, 42	cbvex4v 1981	. . . . . 6 |- ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) )
44	43	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) <-> ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) )
45	44	imbi1i 238	. . . 4 |- ( ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) <-> ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
46	45	2albii 1517	. . 3 |- ( A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) <-> A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
47	18, 46	sylibr 134	. 2 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
48		eqeq1 2236	. . . . 5 |- ( z = q -> ( z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 <-> q = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )
49	48	anbi2d 464	. . . 4 |- ( z = q -> ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
50	49	4exbidv 1916	. . 3 |- ( z = q -> ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
51	50	mo4 2139	. 2 |- ( E* z E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
52	47, 51	sylibr 134	1 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> E* z E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1538   E*wmo 2078   e. wcel 2200   <.cop 3669   class class class wbr 4082   omcom 4679   X. cxp 4714  (class class class)co 5994   .o comu 6550   Er wer 6667   [cec 6668   /.cqs 6669   N.cnpi 7447   ~_Q0 ceq0 7461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-irdg 6506  df-oadd 6556  df-omul 6557  df-er 6670  df-ec 6672  df-qs 6676  df-ni 7479  df-mi 7481  df-enq0 7599

This theorem is referenced by:  mulnnnq0  7625