Theorem mulnq0mo 7446

Description: There is at most one result from multiplying nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulnq0mo	|- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> E* z E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )

Distinct variable groups:   t, A, u, v, w, z   t, B, u, v, w, z

Proof of Theorem mulnq0mo

Dummy variables f g h q s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enq0er 7433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ~Q0 Er ( om X. N. )
2	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> ~Q0 Er ( om X. N. ) )
3		nnnq0lem1 7444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) /\ ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) ) )
4		mulcmpblnq0 7442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) -> ( ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) -> <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ~Q0 <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ) )
5	4	imp 124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) /\ ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) ) -> <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ~Q0 <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. )
6	3, 5	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ~Q0 <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. )
7	2, 6	erthi 6580	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 )
8		simprlr 538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 )
9		simprrr 540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 )
10	7, 8, 9	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> z = q )
11	10	expr 375	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> ( ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) )
12	11	exlimdvv 1897	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> ( E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) )
13	12	exlimdvv 1897	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> ( E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) )
14	13	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) ) )
15	14	exlimdvv 1897	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) ) )
16	15	exlimdvv 1897	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) ) )
17	16	impd 254	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
18	17	alrimivv 1875	. . 3 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
19		opeq12 3780	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> <. w , v >. = <. s , f >. )
20	19	eceq1d 6570	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> [ <. w , v >. ] ~Q0 = [ <. s , f >. ] ~Q0 )
21	20	eqeq2d 2189	. . . . . . . . 9 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 <-> A = [ <. s , f >. ] ~Q0 ) )
22	21	anbi1d 465	. . . . . . . 8 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) <-> ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) ) )
23		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> w = s )
24	23	oveq1d 5889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( w .o u ) = ( s .o u ) )
25		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> v = f )
26	25	oveq1d 5889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( v .o t ) = ( f .o t ) )
27	24, 26	opeq12d 3786	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. = <. ( s .o u ) , ( f .o t ) >. )
28	27	eceq1d 6570	. . . . . . . . 9 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 = [ <. ( s .o u ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 )
29	28	eqeq2d 2189	. . . . . . . 8 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( q = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 <-> q = [ <. ( s .o u ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 ) )
30	22, 29	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o u ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
31		opeq12 3780	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> <. u , t >. = <. g , h >. )
32	31	eceq1d 6570	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> [ <. u , t >. ] ~Q0 = [ <. g , h >. ] ~Q0 )
33	32	eqeq2d 2189	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( B = [ <. u , t >. ] ~Q0 <-> B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) )
34	33	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) <-> ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) ) )
35		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> u = g )
36	35	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( s .o u ) = ( s .o g ) )
37		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> t = h )
38	37	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( f .o t ) = ( f .o h ) )
39	36, 38	opeq12d 3786	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> <. ( s .o u ) , ( f .o t ) >. = <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. )
40	39	eceq1d 6570	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> [ <. ( s .o u ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 )
41	40	eqeq2d 2189	. . . . . . . 8 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( q = [ <. ( s .o u ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 <-> q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) )
42	34, 41	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o u ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) )
43	30, 42	cbvex4v 1930	. . . . . 6 |- ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) )
44	43	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) <-> ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) )
45	44	imbi1i 238	. . . 4 |- ( ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) <-> ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
46	45	2albii 1471	. . 3 |- ( A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) <-> A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( s .o g ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
47	18, 46	sylibr 134	. 2 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
48		eqeq1 2184	. . . . 5 |- ( z = q -> ( z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 <-> q = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )
49	48	anbi2d 464	. . . 4 |- ( z = q -> ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
50	49	4exbidv 1870	. . 3 |- ( z = q -> ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
51	50	mo4 2087	. 2 |- ( E* z E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
52	47, 51	sylibr 134	1 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> E* z E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1351   = wceq 1353   E.wex 1492   E*wmo 2027   e. wcel 2148   <.cop 3595   class class class wbr 4003   omcom 4589   X. cxp 4624  (class class class)co 5874   .o comu 6414   Er wer 6531   [cec 6532   /.cqs 6533   N.cnpi 7270   ~_Q0 ceq0 7284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-mi 7304  df-enq0 7422

This theorem is referenced by:  mulnnnq0  7448