Theorem addnq0mo 7514

Description: There is at most one result from adding nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addnq0mo	|- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> E* z E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )

Distinct variable groups:   t, A, u, v, w, z   t, B, u, v, w, z

Proof of Theorem addnq0mo

Dummy variables f g h q s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enq0er 7502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ~Q0 Er ( om X. N. )
2	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> ~Q0 Er ( om X. N. ) )
3		nnnq0lem1 7513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) /\ ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) ) )
4		addcmpblnq0 7510	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) -> ( ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) -> <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ~Q0 <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ) )
5	4	imp 124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) /\ ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) ) -> <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ~Q0 <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. )
6	3, 5	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ~Q0 <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. )
7	2, 6	erthi 6640	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 )
8		simprlr 538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 )
9		simprrr 540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 )
10	7, 8, 9	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> z = q )
11	10	expr 375	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> ( ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) )
12	11	exlimdvv 1912	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> ( E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) )
13	12	exlimdvv 1912	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> ( E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) )
14	13	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) ) )
15	14	exlimdvv 1912	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) ) )
16	15	exlimdvv 1912	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) ) )
17	16	impd 254	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
18	17	alrimivv 1889	. . 3 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
19		opeq12 3810	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> <. w , v >. = <. s , f >. )
20	19	eceq1d 6628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> [ <. w , v >. ] ~Q0 = [ <. s , f >. ] ~Q0 )
21	20	eqeq2d 2208	. . . . . . . . 9 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 <-> A = [ <. s , f >. ] ~Q0 ) )
22	21	anbi1d 465	. . . . . . . 8 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) <-> ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) ) )
23		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> w = s )
24	23	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( w .o t ) = ( s .o t ) )
25		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> v = f )
26	25	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( v .o u ) = ( f .o u ) )
27	24, 26	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) = ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) )
28	25	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( v .o t ) = ( f .o t ) )
29	27, 28	opeq12d 3816	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. = <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. )
30	29	eceq1d 6628	. . . . . . . . 9 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 )
31	30	eqeq2d 2208	. . . . . . . 8 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 <-> q = [ <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 ) )
32	22, 31	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
33		opeq12 3810	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> <. u , t >. = <. g , h >. )
34	33	eceq1d 6628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> [ <. u , t >. ] ~Q0 = [ <. g , h >. ] ~Q0 )
35	34	eqeq2d 2208	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( B = [ <. u , t >. ] ~Q0 <-> B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) )
36	35	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) <-> ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) ) )
37		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> t = h )
38	37	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( s .o t ) = ( s .o h ) )
39		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> u = g )
40	39	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( f .o u ) = ( f .o g ) )
41	38, 40	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) = ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) )
42	37	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( f .o t ) = ( f .o h ) )
43	41, 42	opeq12d 3816	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. = <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. )
44	43	eceq1d 6628	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> [ <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 )
45	44	eqeq2d 2208	. . . . . . . 8 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( q = [ <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 <-> q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) )
46	36, 45	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) )
47	32, 46	cbvex4v 1949	. . . . . 6 |- ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) )
48	47	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) <-> ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) )
49	48	imbi1i 238	. . . 4 |- ( ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) <-> ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
50	49	2albii 1485	. . 3 |- ( A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) <-> A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
51	18, 50	sylibr 134	. 2 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
52		eqeq1 2203	. . . . 5 |- ( z = q -> ( z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 <-> q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )
53	52	anbi2d 464	. . . 4 |- ( z = q -> ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
54	53	4exbidv 1884	. . 3 |- ( z = q -> ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
55	54	mo4 2106	. 2 |- ( E* z E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
56	51, 55	sylibr 134	1 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> E* z E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1506   E*wmo 2046   e. wcel 2167   <.cop 3625   class class class wbr 4033   omcom 4626   X. cxp 4661  (class class class)co 5922   +o coa 6471   .o comu 6472   Er wer 6589   [cec 6590   /.cqs 6591   N.cnpi 7339   ~_Q0 ceq0 7353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-mi 7373  df-enq0 7491

This theorem is referenced by:  addnnnq0  7516