Theorem addnq0mo 7446

Description: There is at most one result from adding nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addnq0mo	|- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> E* z E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )

Distinct variable groups:   t, A, u, v, w, z   t, B, u, v, w, z

Proof of Theorem addnq0mo

Dummy variables f g h q s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enq0er 7434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ~Q0 Er ( om X. N. )
2	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> ~Q0 Er ( om X. N. ) )
3		nnnq0lem1 7445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) /\ ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) ) )
4		addcmpblnq0 7442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) -> ( ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) -> <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ~Q0 <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ) )
5	4	imp 124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) /\ ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) ) -> <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ~Q0 <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. )
6	3, 5	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ~Q0 <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. )
7	2, 6	erthi 6581	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 )
8		simprlr 538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 )
9		simprrr 540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 )
10	7, 8, 9	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> z = q )
11	10	expr 375	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> ( ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) )
12	11	exlimdvv 1897	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> ( E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) )
13	12	exlimdvv 1897	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> ( E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) )
14	13	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) ) )
15	14	exlimdvv 1897	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) ) )
16	15	exlimdvv 1897	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) ) )
17	16	impd 254	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
18	17	alrimivv 1875	. . 3 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
19		opeq12 3781	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> <. w , v >. = <. s , f >. )
20	19	eceq1d 6571	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> [ <. w , v >. ] ~Q0 = [ <. s , f >. ] ~Q0 )
21	20	eqeq2d 2189	. . . . . . . . 9 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 <-> A = [ <. s , f >. ] ~Q0 ) )
22	21	anbi1d 465	. . . . . . . 8 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) <-> ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) ) )
23		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> w = s )
24	23	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( w .o t ) = ( s .o t ) )
25		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> v = f )
26	25	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( v .o u ) = ( f .o u ) )
27	24, 26	oveq12d 5893	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) = ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) )
28	25	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( v .o t ) = ( f .o t ) )
29	27, 28	opeq12d 3787	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. = <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. )
30	29	eceq1d 6571	. . . . . . . . 9 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 )
31	30	eqeq2d 2189	. . . . . . . 8 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 <-> q = [ <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 ) )
32	22, 31	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
33		opeq12 3781	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> <. u , t >. = <. g , h >. )
34	33	eceq1d 6571	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> [ <. u , t >. ] ~Q0 = [ <. g , h >. ] ~Q0 )
35	34	eqeq2d 2189	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( B = [ <. u , t >. ] ~Q0 <-> B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) )
36	35	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) <-> ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) ) )
37		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> t = h )
38	37	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( s .o t ) = ( s .o h ) )
39		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> u = g )
40	39	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( f .o u ) = ( f .o g ) )
41	38, 40	oveq12d 5893	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) = ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) )
42	37	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( f .o t ) = ( f .o h ) )
43	41, 42	opeq12d 3787	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. = <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. )
44	43	eceq1d 6571	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> [ <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 )
45	44	eqeq2d 2189	. . . . . . . 8 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( q = [ <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 <-> q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) )
46	36, 45	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) )
47	32, 46	cbvex4v 1930	. . . . . 6 |- ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) )
48	47	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) <-> ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) )
49	48	imbi1i 238	. . . 4 |- ( ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) <-> ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
50	49	2albii 1471	. . 3 |- ( A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) <-> A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
51	18, 50	sylibr 134	. 2 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
52		eqeq1 2184	. . . . 5 |- ( z = q -> ( z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 <-> q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )
53	52	anbi2d 464	. . . 4 |- ( z = q -> ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
54	53	4exbidv 1870	. . 3 |- ( z = q -> ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
55	54	mo4 2087	. 2 |- ( E* z E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
56	51, 55	sylibr 134	1 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> E* z E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1351   = wceq 1353   E.wex 1492   E*wmo 2027   e. wcel 2148   <.cop 3596   class class class wbr 4004   omcom 4590   X. cxp 4625  (class class class)co 5875   +o coa 6414   .o comu 6415   Er wer 6532   [cec 6533   /.cqs 6534   N.cnpi 7271   ~_Q0 ceq0 7285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-mi 7305  df-enq0 7423

This theorem is referenced by:  addnnnq0  7448