Theorem addnq0mo 7388

Description: There is at most one result from adding nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addnq0mo	|- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> E* z E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )

Distinct variable groups:   t, A, u, v, w, z   t, B, u, v, w, z

Proof of Theorem addnq0mo

Dummy variables f g h q s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enq0er 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ~Q0 Er ( om X. N. )
2	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> ~Q0 Er ( om X. N. ) )
3		nnnq0lem1 7387	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) /\ ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) ) )
4		addcmpblnq0 7384	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) -> ( ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) -> <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ~Q0 <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ) )
5	4	imp 123	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) /\ ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) ) -> <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ~Q0 <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. )
6	3, 5	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ~Q0 <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. )
7	2, 6	erthi 6547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 )
8		simprlr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 )
9		simprrr 530	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 )
10	7, 8, 9	3eqtr4d 2208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) ) -> z = q )
11	10	expr 373	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> ( ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) )
12	11	exlimdvv 1885	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> ( E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) )
13	12	exlimdvv 1885	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> ( E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) )
14	13	ex 114	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) ) )
15	14	exlimdvv 1885	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) ) )
16	15	exlimdvv 1885	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) -> z = q ) ) )
17	16	impd 252	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
18	17	alrimivv 1863	. . 3 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
19		opeq12 3760	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> <. w , v >. = <. s , f >. )
20	19	eceq1d 6537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> [ <. w , v >. ] ~Q0 = [ <. s , f >. ] ~Q0 )
21	20	eqeq2d 2177	. . . . . . . . 9 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 <-> A = [ <. s , f >. ] ~Q0 ) )
22	21	anbi1d 461	. . . . . . . 8 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) <-> ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) ) )
23		simpl 108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> w = s )
24	23	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( w .o t ) = ( s .o t ) )
25		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> v = f )
26	25	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( v .o u ) = ( f .o u ) )
27	24, 26	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) = ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) )
28	25	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( v .o t ) = ( f .o t ) )
29	27, 28	opeq12d 3766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. = <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. )
30	29	eceq1d 6537	. . . . . . . . 9 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 )
31	30	eqeq2d 2177	. . . . . . . 8 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 <-> q = [ <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 ) )
32	22, 31	anbi12d 465	. . . . . . 7 |- ( ( w = s /\ v = f ) -> ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
33		opeq12 3760	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> <. u , t >. = <. g , h >. )
34	33	eceq1d 6537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> [ <. u , t >. ] ~Q0 = [ <. g , h >. ] ~Q0 )
35	34	eqeq2d 2177	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( B = [ <. u , t >. ] ~Q0 <-> B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) )
36	35	anbi2d 460	. . . . . . . 8 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) <-> ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) ) )
37		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> t = h )
38	37	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( s .o t ) = ( s .o h ) )
39		simpl 108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> u = g )
40	39	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( f .o u ) = ( f .o g ) )
41	38, 40	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) = ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) )
42	37	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( f .o t ) = ( f .o h ) )
43	41, 42	opeq12d 3766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. = <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. )
44	43	eceq1d 6537	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> [ <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 )
45	44	eqeq2d 2177	. . . . . . . 8 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( q = [ <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 <-> q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) )
46	36, 45	anbi12d 465	. . . . . . 7 |- ( ( u = g /\ t = h ) -> ( ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o t ) +o ( f .o u ) ) , ( f .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) )
47	32, 46	cbvex4v 1918	. . . . . 6 |- ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) )
48	47	anbi2i 453	. . . . 5 |- ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) <-> ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) )
49	48	imbi1i 237	. . . 4 |- ( ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) <-> ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
50	49	2albii 1459	. . 3 |- ( A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) <-> A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. s E. f E. g E. h ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( s .o h ) +o ( f .o g ) ) , ( f .o h ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
51	18, 50	sylibr 133	. 2 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
52		eqeq1 2172	. . . . 5 |- ( z = q -> ( z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 <-> q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )
53	52	anbi2d 460	. . . 4 |- ( z = q -> ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
54	53	4exbidv 1858	. . 3 |- ( z = q -> ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
55	54	mo4 2075	. 2 |- ( E* z E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> A. z A. q ( ( E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ q = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) -> z = q ) )
56	51, 55	sylibr 133	1 |- ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> E* z E. w E. v E. u E. t ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( ( w .o t ) +o ( v .o u ) ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1341   = wceq 1343   E.wex 1480   E*wmo 2015   e. wcel 2136   <.cop 3579   class class class wbr 3982   omcom 4567   X. cxp 4602  (class class class)co 5842   +o coa 6381   .o comu 6382   Er wer 6498   [cec 6499   /.cqs 6500   N.cnpi 7213   ~_Q0 ceq0 7227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-mi 7247  df-enq0 7365

This theorem is referenced by:  addnnnq0  7390