ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0sym Unicode version
Theorem enq0sym 7615
Description: The equivalence relation for nonnegative fractions is symmetric. Lemma for enq0er 7618. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0sym |- ( f ~Q0 g -> g ~Q0 f )
Proof of Theorem enq0sym
Dummy variables a b c d u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2802 . . . . . . . 8 |- f e. _V
2 vex 2802 . . . . . . . 8 |- g e. _V
3 eleq1 2292 . . . . . . . . . 10 |- ( x = f -> ( x e. ( om X. N. ) <-> f e. ( om X. N. ) ) )
43anbi1d 465 . . . . . . . . 9 |- ( x = f -> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) ) )
5 eqeq1 2236 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = f -> ( x = <. z , w >. <-> f = <. z , w >. ) )
65anbi1d 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = f -> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) )
76anbi1d 465 . . . . . . . . . 10 |- ( x = f -> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
874exbidv 1916 . . . . . . . . 9 |- ( x = f -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
94, 8anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( x = f -> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
10 eleq1 2292 . . . . . . . . . 10 |- ( y = g -> ( y e. ( om X. N. ) <-> g e. ( om X. N. ) ) )
1110anbi2d 464 . . . . . . . . 9 |- ( y = g -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) ) )
12 eqeq1 2236 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = g -> ( y = <. v , u >. <-> g = <. v , u >. ) )
1312anbi2d 464 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = g -> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) ) )
1413anbi1d 465 . . . . . . . . . 10 |- ( y = g -> ( ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
15144exbidv 1916 . . . . . . . . 9 |- ( y = g -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
1611, 15anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( y = g -> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
17 df-enq0 7607 . . . . . . . 8 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) }
181, 2, 9, 16, 17brab 4360 . . . . . . 7 |- ( f ~Q0 g <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
1918biimpi 120 . . . . . 6 |- ( f ~Q0 g -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
20 opeq12 3858 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> <. z , w >. = <. a , b >. )
2120eqeq2d 2241 . . . . . . . . . 10 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> ( f = <. z , w >. <-> f = <. a , b >. ) )
2221anbi1d 465 . . . . . . . . 9 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) <-> ( f = <. a , b >. /\ g = <. v , u >. ) ) )
23 simpl 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> z = a )
2423oveq1d 6015 . . . . . . . . . 10 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> ( z .o u ) = ( a .o u ) )
25 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> w = b )
2625oveq1d 6015 . . . . . . . . . 10 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> ( w .o v ) = ( b .o v ) )
2724, 26eqeq12d 2244 . . . . . . . . 9 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> ( ( z .o u ) = ( w .o v ) <-> ( a .o u ) = ( b .o v ) ) )
2822, 27anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( a .o u ) = ( b .o v ) ) ) )
29 opeq12 3858 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> <. v , u >. = <. c , d >. )
3029eqeq2d 2241 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> ( g = <. v , u >. <-> g = <. c , d >. ) )
3130anbi2d 464 . . . . . . . . 9 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. v , u >. ) <-> ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) ) )
32 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> u = d )
3332oveq2d 6016 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> ( a .o u ) = ( a .o d ) )
34 simpl 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> v = c )
3534oveq2d 6016 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> ( b .o v ) = ( b .o c ) )
3633, 35eqeq12d 2244 . . . . . . . . 9 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> ( ( a .o u ) = ( b .o v ) <-> ( a .o d ) = ( b .o c ) ) )
3731, 36anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> ( ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( a .o u ) = ( b .o v ) ) <-> ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) )
3828, 37cbvex4v 1981 . . . . . . 7 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. a E. b E. c E. d ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) )
3938anbi2i 457 . . . . . 6 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. c E. d ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) )
4019, 39sylib 122 . . . . 5 |- ( f ~Q0 g -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. c E. d ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) )
41 19.42vv 1958 . . . . 5 |- ( E. a E. b ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. c E. d ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. c E. d ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) )
4240, 41sylibr 134 . . . 4 |- ( f ~Q0 g -> E. a E. b ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. c E. d ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) )
43 19.42vv 1958 . . . . 5 |- ( E. c E. d ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. c E. d ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) )
44432exbii 1652 . . . 4 |- ( E. a E. b E. c E. d ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) <-> E. a E. b ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. c E. d ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) )
4542, 44sylibr 134 . . 3 |- ( f ~Q0 g -> E. a E. b E. c E. d ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) )
46 pm3.22 265 . . . . . . 7 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) -> ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) )
4746adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) )
48 pm3.22 265 . . . . . . 7 |- ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) -> ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) )
4948ad2antrl 490 . . . . . 6 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) )
50 simprr 531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> ( a .o d ) = ( b .o c ) )
51 eleq1 2292 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = <. a , b >. -> ( f e. ( om X. N. ) <-> <. a , b >. e. ( om X. N. ) ) )
52 opelxp 4748 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. a , b >. e. ( om X. N. ) <-> ( a e. om /\ b e. N. ) )
5351, 52bitrdi 196 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = <. a , b >. -> ( f e. ( om X. N. ) <-> ( a e. om /\ b e. N. ) ) )
5453biimpcd 159 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( om X. N. ) -> ( f = <. a , b >. -> ( a e. om /\ b e. N. ) ) )
55 eleq1 2292 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = <. c , d >. -> ( g e. ( om X. N. ) <-> <. c , d >. e. ( om X. N. ) ) )
56 opelxp 4748 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. c , d >. e. ( om X. N. ) <-> ( c e. om /\ d e. N. ) )
5755, 56bitrdi 196 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = <. c , d >. -> ( g e. ( om X. N. ) <-> ( c e. om /\ d e. N. ) ) )
5857biimpcd 159 . . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. ( om X. N. ) -> ( g = <. c , d >. -> ( c e. om /\ d e. N. ) ) )
5954, 58im2anan9 600 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) -> ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) -> ( ( a e. om /\ b e. N. ) /\ ( c e. om /\ d e. N. ) ) ) )
6059imp 124 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) ) -> ( ( a e. om /\ b e. N. ) /\ ( c e. om /\ d e. N. ) ) )
6160adantrr 479 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> ( ( a e. om /\ b e. N. ) /\ ( c e. om /\ d e. N. ) ) )
62 pinn 7492 . . . . . . . . . . . 12 |- ( d e. N. -> d e. om )
63 nnmcom 6633 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. om /\ d e. om ) -> ( a .o d ) = ( d .o a ) )
6462, 63sylan2 286 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. om /\ d e. N. ) -> ( a .o d ) = ( d .o a ) )
65 pinn 7492 . . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. N. -> b e. om )
66 nnmcom 6633 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. om /\ c e. om ) -> ( b .o c ) = ( c .o b ) )
6765, 66sylan 283 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. N. /\ c e. om ) -> ( b .o c ) = ( c .o b ) )
6864, 67eqeqan12d 2245 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. om /\ d e. N. ) /\ ( b e. N. /\ c e. om ) ) -> ( ( a .o d ) = ( b .o c ) <-> ( d .o a ) = ( c .o b ) ) )
6968an42s 591 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. om /\ b e. N. ) /\ ( c e. om /\ d e. N. ) ) -> ( ( a .o d ) = ( b .o c ) <-> ( d .o a ) = ( c .o b ) ) )
7061, 69syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> ( ( a .o d ) = ( b .o c ) <-> ( d .o a ) = ( c .o b ) ) )
7150, 70mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> ( d .o a ) = ( c .o b ) )
7271eqcomd 2235 . . . . . 6 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> ( c .o b ) = ( d .o a ) )
7347, 49, 72jca32 310 . . . . 5 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
74732eximi 1647 . . . 4 |- ( E. c E. d ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> E. c E. d ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
75742eximi 1647 . . 3 |- ( E. a E. b E. c E. d ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> E. a E. b E. c E. d ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
7645, 75syl 14 . 2 |- ( f ~Q0 g -> E. a E. b E. c E. d ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
77 exrot4 1737 . . 3 |- ( E. a E. b E. c E. d ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) <-> E. c E. d E. a E. b ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
78 19.42vv 1958 . . . . 5 |- ( E. a E. b ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) <-> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
79782exbii 1652 . . . 4 |- ( E. c E. d E. a E. b ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) <-> E. c E. d ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
80 19.42vv 1958 . . . . 5 |- ( E. c E. d ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) <-> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. c E. d E. a E. b ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
81 opeq12 3858 . . . . . . . . . 10 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> <. z , w >. = <. c , d >. )
8281eqeq2d 2241 . . . . . . . . 9 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( g = <. z , w >. <-> g = <. c , d >. ) )
8382anbi1d 465 . . . . . . . 8 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) <-> ( g = <. c , d >. /\ f = <. v , u >. ) ) )
84 simpl 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> z = c )
8584oveq1d 6015 . . . . . . . . 9 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( z .o u ) = ( c .o u ) )
86 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> w = d )
8786oveq1d 6015 . . . . . . . . 9 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( w .o v ) = ( d .o v ) )
8885, 87eqeq12d 2244 . . . . . . . 8 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( ( z .o u ) = ( w .o v ) <-> ( c .o u ) = ( d .o v ) ) )
8983, 88anbi12d 473 . . . . . . 7 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( ( ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( c .o u ) = ( d .o v ) ) ) )
90 opeq12 3858 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> <. v , u >. = <. a , b >. )
9190eqeq2d 2241 . . . . . . . . 9 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> ( f = <. v , u >. <-> f = <. a , b >. ) )
9291anbi2d 464 . . . . . . . 8 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. v , u >. ) <-> ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) ) )
93 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> u = b )
9493oveq2d 6016 . . . . . . . . 9 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> ( c .o u ) = ( c .o b ) )
95 simpl 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> v = a )
9695oveq2d 6016 . . . . . . . . 9 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> ( d .o v ) = ( d .o a ) )
9794, 96eqeq12d 2244 . . . . . . . 8 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> ( ( c .o u ) = ( d .o v ) <-> ( c .o b ) = ( d .o a ) ) )
9892, 97anbi12d 473 . . . . . . 7 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> ( ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( c .o u ) = ( d .o v ) ) <-> ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
9989, 98cbvex4v 1981 . . . . . 6 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. c E. d E. a E. b ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) )
100 eleq1 2292 . . . . . . . . . 10 |- ( x = g -> ( x e. ( om X. N. ) <-> g e. ( om X. N. ) ) )
101100anbi1d 465 . . . . . . . . 9 |- ( x = g -> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( g e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) ) )
102 eqeq1 2236 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = g -> ( x = <. z , w >. <-> g = <. z , w >. ) )
103102anbi1d 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = g -> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( g = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) )
104103anbi1d 465 . . . . . . . . . 10 |- ( x = g -> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( g = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
1051044exbidv 1916 . . . . . . . . 9 |- ( x = g -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
106101, 105anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( x = g -> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
107 eleq1 2292 . . . . . . . . . 10 |- ( y = f -> ( y e. ( om X. N. ) <-> f e. ( om X. N. ) ) )
108107anbi2d 464 . . . . . . . . 9 |- ( y = f -> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) ) )
109 eqeq1 2236 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = f -> ( y = <. v , u >. <-> f = <. v , u >. ) )
110109anbi2d 464 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = f -> ( ( g = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) ) )
111110anbi1d 465 . . . . . . . . . 10 |- ( y = f -> ( ( ( g = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
1121114exbidv 1916 . . . . . . . . 9 |- ( y = f -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
113108, 112anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( y = f -> ( ( ( g e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
1142, 1, 106, 113, 17brab 4360 . . . . . . 7 |- ( g ~Q0 f <-> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
115114biimpri 133 . . . . . 6 |- ( ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) -> g ~Q0 f )
11699, 115sylan2br 288 . . . . 5 |- ( ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. c E. d E. a E. b ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) -> g ~Q0 f )
11780, 116sylbi 121 . . . 4 |- ( E. c E. d ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) -> g ~Q0 f )
11879, 117sylbi 121 . . 3 |- ( E. c E. d E. a E. b ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) -> g ~Q0 f )
11977, 118sylbi 121 . 2 |- ( E. a E. b E. c E. d ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) -> g ~Q0 f )
12076, 119syl 14 1 |- ( f ~Q0 g -> g ~Q0 f )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   <.cop 3669   class class class wbr 4082   omcom 4681   X. cxp 4716  (class class class)co 6000   .o comu 6558   N.cnpi 7455   ~Q0 ceq0 7469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-oadd 6564  df-omul 6565  df-ni 7487  df-enq0 7607
This theorem is referenced by:  enq0er  7618
  Copyright terms: Public domain W3C validator