ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0sym Unicode version
Theorem enq0sym 7394
Description: The equivalence relation for nonnegative fractions is symmetric. Lemma for enq0er 7397. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0sym |- ( f ~Q0 g -> g ~Q0 f )
Proof of Theorem enq0sym
Dummy variables a b c d u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2733 . . . . . . . 8 |- f e. _V
2 vex 2733 . . . . . . . 8 |- g e. _V
3 eleq1 2233 . . . . . . . . . 10 |- ( x = f -> ( x e. ( om X. N. ) <-> f e. ( om X. N. ) ) )
43anbi1d 462 . . . . . . . . 9 |- ( x = f -> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) ) )
5 eqeq1 2177 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = f -> ( x = <. z , w >. <-> f = <. z , w >. ) )
65anbi1d 462 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = f -> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) )
76anbi1d 462 . . . . . . . . . 10 |- ( x = f -> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
874exbidv 1863 . . . . . . . . 9 |- ( x = f -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
94, 8anbi12d 470 . . . . . . . 8 |- ( x = f -> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
10 eleq1 2233 . . . . . . . . . 10 |- ( y = g -> ( y e. ( om X. N. ) <-> g e. ( om X. N. ) ) )
1110anbi2d 461 . . . . . . . . 9 |- ( y = g -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) ) )
12 eqeq1 2177 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = g -> ( y = <. v , u >. <-> g = <. v , u >. ) )
1312anbi2d 461 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = g -> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) ) )
1413anbi1d 462 . . . . . . . . . 10 |- ( y = g -> ( ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
15144exbidv 1863 . . . . . . . . 9 |- ( y = g -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
1611, 15anbi12d 470 . . . . . . . 8 |- ( y = g -> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
17 df-enq0 7386 . . . . . . . 8 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) }
181, 2, 9, 16, 17brab 4257 . . . . . . 7 |- ( f ~Q0 g <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
1918biimpi 119 . . . . . 6 |- ( f ~Q0 g -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
20 opeq12 3767 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> <. z , w >. = <. a , b >. )
2120eqeq2d 2182 . . . . . . . . . 10 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> ( f = <. z , w >. <-> f = <. a , b >. ) )
2221anbi1d 462 . . . . . . . . 9 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) <-> ( f = <. a , b >. /\ g = <. v , u >. ) ) )
23 simpl 108 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> z = a )
2423oveq1d 5868 . . . . . . . . . 10 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> ( z .o u ) = ( a .o u ) )
25 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> w = b )
2625oveq1d 5868 . . . . . . . . . 10 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> ( w .o v ) = ( b .o v ) )
2724, 26eqeq12d 2185 . . . . . . . . 9 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> ( ( z .o u ) = ( w .o v ) <-> ( a .o u ) = ( b .o v ) ) )
2822, 27anbi12d 470 . . . . . . . 8 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( a .o u ) = ( b .o v ) ) ) )
29 opeq12 3767 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> <. v , u >. = <. c , d >. )
3029eqeq2d 2182 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> ( g = <. v , u >. <-> g = <. c , d >. ) )
3130anbi2d 461 . . . . . . . . 9 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. v , u >. ) <-> ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) ) )
32 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> u = d )
3332oveq2d 5869 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> ( a .o u ) = ( a .o d ) )
34 simpl 108 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> v = c )
3534oveq2d 5869 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> ( b .o v ) = ( b .o c ) )
3633, 35eqeq12d 2185 . . . . . . . . 9 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> ( ( a .o u ) = ( b .o v ) <-> ( a .o d ) = ( b .o c ) ) )
3731, 36anbi12d 470 . . . . . . . 8 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> ( ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( a .o u ) = ( b .o v ) ) <-> ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) )
3828, 37cbvex4v 1923 . . . . . . 7 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. a E. b E. c E. d ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) )
3938anbi2i 454 . . . . . 6 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. c E. d ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) )
4019, 39sylib 121 . . . . 5 |- ( f ~Q0 g -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. c E. d ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) )
41 19.42vv 1904 . . . . 5 |- ( E. a E. b ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. c E. d ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. c E. d ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) )
4240, 41sylibr 133 . . . 4 |- ( f ~Q0 g -> E. a E. b ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. c E. d ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) )
43 19.42vv 1904 . . . . 5 |- ( E. c E. d ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. c E. d ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) )
44432exbii 1599 . . . 4 |- ( E. a E. b E. c E. d ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) <-> E. a E. b ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. c E. d ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) )
4542, 44sylibr 133 . . 3 |- ( f ~Q0 g -> E. a E. b E. c E. d ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) )
46 pm3.22 263 . . . . . . 7 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) -> ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) )
4746adantr 274 . . . . . 6 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) )
48 pm3.22 263 . . . . . . 7 |- ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) -> ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) )
4948ad2antrl 487 . . . . . 6 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) )
50 simprr 527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> ( a .o d ) = ( b .o c ) )
51 eleq1 2233 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = <. a , b >. -> ( f e. ( om X. N. ) <-> <. a , b >. e. ( om X. N. ) ) )
52 opelxp 4641 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. a , b >. e. ( om X. N. ) <-> ( a e. om /\ b e. N. ) )
5351, 52bitrdi 195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = <. a , b >. -> ( f e. ( om X. N. ) <-> ( a e. om /\ b e. N. ) ) )
5453biimpcd 158 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( om X. N. ) -> ( f = <. a , b >. -> ( a e. om /\ b e. N. ) ) )
55 eleq1 2233 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = <. c , d >. -> ( g e. ( om X. N. ) <-> <. c , d >. e. ( om X. N. ) ) )
56 opelxp 4641 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. c , d >. e. ( om X. N. ) <-> ( c e. om /\ d e. N. ) )
5755, 56bitrdi 195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = <. c , d >. -> ( g e. ( om X. N. ) <-> ( c e. om /\ d e. N. ) ) )
5857biimpcd 158 . . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. ( om X. N. ) -> ( g = <. c , d >. -> ( c e. om /\ d e. N. ) ) )
5954, 58im2anan9 593 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) -> ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) -> ( ( a e. om /\ b e. N. ) /\ ( c e. om /\ d e. N. ) ) ) )
6059imp 123 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) ) -> ( ( a e. om /\ b e. N. ) /\ ( c e. om /\ d e. N. ) ) )
6160adantrr 476 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> ( ( a e. om /\ b e. N. ) /\ ( c e. om /\ d e. N. ) ) )
62 pinn 7271 . . . . . . . . . . . 12 |- ( d e. N. -> d e. om )
63 nnmcom 6468 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. om /\ d e. om ) -> ( a .o d ) = ( d .o a ) )
6462, 63sylan2 284 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. om /\ d e. N. ) -> ( a .o d ) = ( d .o a ) )
65 pinn 7271 . . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. N. -> b e. om )
66 nnmcom 6468 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. om /\ c e. om ) -> ( b .o c ) = ( c .o b ) )
6765, 66sylan 281 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. N. /\ c e. om ) -> ( b .o c ) = ( c .o b ) )
6864, 67eqeqan12d 2186 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. om /\ d e. N. ) /\ ( b e. N. /\ c e. om ) ) -> ( ( a .o d ) = ( b .o c ) <-> ( d .o a ) = ( c .o b ) ) )
6968an42s 584 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. om /\ b e. N. ) /\ ( c e. om /\ d e. N. ) ) -> ( ( a .o d ) = ( b .o c ) <-> ( d .o a ) = ( c .o b ) ) )
7061, 69syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> ( ( a .o d ) = ( b .o c ) <-> ( d .o a ) = ( c .o b ) ) )
7150, 70mpbid 146 . . . . . . 7 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> ( d .o a ) = ( c .o b ) )
7271eqcomd 2176 . . . . . 6 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> ( c .o b ) = ( d .o a ) )
7347, 49, 72jca32 308 . . . . 5 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
74732eximi 1594 . . . 4 |- ( E. c E. d ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> E. c E. d ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
75742eximi 1594 . . 3 |- ( E. a E. b E. c E. d ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> E. a E. b E. c E. d ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
7645, 75syl 14 . 2 |- ( f ~Q0 g -> E. a E. b E. c E. d ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
77 exrot4 1684 . . 3 |- ( E. a E. b E. c E. d ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) <-> E. c E. d E. a E. b ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
78 19.42vv 1904 . . . . 5 |- ( E. a E. b ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) <-> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
79782exbii 1599 . . . 4 |- ( E. c E. d E. a E. b ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) <-> E. c E. d ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
80 19.42vv 1904 . . . . 5 |- ( E. c E. d ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) <-> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. c E. d E. a E. b ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
81 opeq12 3767 . . . . . . . . . 10 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> <. z , w >. = <. c , d >. )
8281eqeq2d 2182 . . . . . . . . 9 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( g = <. z , w >. <-> g = <. c , d >. ) )
8382anbi1d 462 . . . . . . . 8 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) <-> ( g = <. c , d >. /\ f = <. v , u >. ) ) )
84 simpl 108 . . . . . . . . . 10 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> z = c )
8584oveq1d 5868 . . . . . . . . 9 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( z .o u ) = ( c .o u ) )
86 simpr 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> w = d )
8786oveq1d 5868 . . . . . . . . 9 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( w .o v ) = ( d .o v ) )
8885, 87eqeq12d 2185 . . . . . . . 8 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( ( z .o u ) = ( w .o v ) <-> ( c .o u ) = ( d .o v ) ) )
8983, 88anbi12d 470 . . . . . . 7 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( ( ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( c .o u ) = ( d .o v ) ) ) )
90 opeq12 3767 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> <. v , u >. = <. a , b >. )
9190eqeq2d 2182 . . . . . . . . 9 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> ( f = <. v , u >. <-> f = <. a , b >. ) )
9291anbi2d 461 . . . . . . . 8 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. v , u >. ) <-> ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) ) )
93 simpr 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> u = b )
9493oveq2d 5869 . . . . . . . . 9 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> ( c .o u ) = ( c .o b ) )
95 simpl 108 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> v = a )
9695oveq2d 5869 . . . . . . . . 9 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> ( d .o v ) = ( d .o a ) )
9794, 96eqeq12d 2185 . . . . . . . 8 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> ( ( c .o u ) = ( d .o v ) <-> ( c .o b ) = ( d .o a ) ) )
9892, 97anbi12d 470 . . . . . . 7 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> ( ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( c .o u ) = ( d .o v ) ) <-> ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
9989, 98cbvex4v 1923 . . . . . 6 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. c E. d E. a E. b ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) )
100 eleq1 2233 . . . . . . . . . 10 |- ( x = g -> ( x e. ( om X. N. ) <-> g e. ( om X. N. ) ) )
101100anbi1d 462 . . . . . . . . 9 |- ( x = g -> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( g e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) ) )
102 eqeq1 2177 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = g -> ( x = <. z , w >. <-> g = <. z , w >. ) )
103102anbi1d 462 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = g -> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( g = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) )
104103anbi1d 462 . . . . . . . . . 10 |- ( x = g -> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( g = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
1051044exbidv 1863 . . . . . . . . 9 |- ( x = g -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
106101, 105anbi12d 470 . . . . . . . 8 |- ( x = g -> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
107 eleq1 2233 . . . . . . . . . 10 |- ( y = f -> ( y e. ( om X. N. ) <-> f e. ( om X. N. ) ) )
108107anbi2d 461 . . . . . . . . 9 |- ( y = f -> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) ) )
109 eqeq1 2177 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = f -> ( y = <. v , u >. <-> f = <. v , u >. ) )
110109anbi2d 461 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = f -> ( ( g = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) ) )
111110anbi1d 462 . . . . . . . . . 10 |- ( y = f -> ( ( ( g = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
1121114exbidv 1863 . . . . . . . . 9 |- ( y = f -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
113108, 112anbi12d 470 . . . . . . . 8 |- ( y = f -> ( ( ( g e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
1142, 1, 106, 113, 17brab 4257 . . . . . . 7 |- ( g ~Q0 f <-> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
115114biimpri 132 . . . . . 6 |- ( ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) -> g ~Q0 f )
11699, 115sylan2br 286 . . . . 5 |- ( ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. c E. d E. a E. b ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) -> g ~Q0 f )
11780, 116sylbi 120 . . . 4 |- ( E. c E. d ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) -> g ~Q0 f )
11879, 117sylbi 120 . . 3 |- ( E. c E. d E. a E. b ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) -> g ~Q0 f )
11977, 118sylbi 120 . 2 |- ( E. a E. b E. c E. d ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) -> g ~Q0 f )
12076, 119syl 14 1 |- ( f ~Q0 g -> g ~Q0 f )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   <.cop 3586   class class class wbr 3989   omcom 4574   X. cxp 4609  (class class class)co 5853   .o comu 6393   N.cnpi 7234   ~Q0 ceq0 7248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-ni 7266  df-enq0 7386
This theorem is referenced by:  enq0er  7397
  Copyright terms: Public domain W3C validator