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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > enq0sym | Unicode version |
Description: The equivalence relation for nonnegative fractions is symmetric. Lemma for enq0er 7243. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
enq0sym | ~Q0 ~Q0 |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | vex 2689 | . . . . . . . 8 | |
2 | vex 2689 | . . . . . . . 8 | |
3 | eleq1 2202 | . . . . . . . . . 10 | |
4 | 3 | anbi1d 460 | . . . . . . . . 9 |
5 | eqeq1 2146 | . . . . . . . . . . . 12 | |
6 | 5 | anbi1d 460 | . . . . . . . . . . 11 |
7 | 6 | anbi1d 460 | . . . . . . . . . 10 |
8 | 7 | 4exbidv 1842 | . . . . . . . . 9 |
9 | 4, 8 | anbi12d 464 | . . . . . . . 8 |
10 | eleq1 2202 | . . . . . . . . . 10 | |
11 | 10 | anbi2d 459 | . . . . . . . . 9 |
12 | eqeq1 2146 | . . . . . . . . . . . 12 | |
13 | 12 | anbi2d 459 | . . . . . . . . . . 11 |
14 | 13 | anbi1d 460 | . . . . . . . . . 10 |
15 | 14 | 4exbidv 1842 | . . . . . . . . 9 |
16 | 11, 15 | anbi12d 464 | . . . . . . . 8 |
17 | df-enq0 7232 | . . . . . . . 8 ~Q0 | |
18 | 1, 2, 9, 16, 17 | brab 4194 | . . . . . . 7 ~Q0 |
19 | 18 | biimpi 119 | . . . . . 6 ~Q0 |
20 | opeq12 3707 | . . . . . . . . . . 11 | |
21 | 20 | eqeq2d 2151 | . . . . . . . . . 10 |
22 | 21 | anbi1d 460 | . . . . . . . . 9 |
23 | simpl 108 | . . . . . . . . . . 11 | |
24 | 23 | oveq1d 5789 | . . . . . . . . . 10 |
25 | simpr 109 | . . . . . . . . . . 11 | |
26 | 25 | oveq1d 5789 | . . . . . . . . . 10 |
27 | 24, 26 | eqeq12d 2154 | . . . . . . . . 9 |
28 | 22, 27 | anbi12d 464 | . . . . . . . 8 |
29 | opeq12 3707 | . . . . . . . . . . 11 | |
30 | 29 | eqeq2d 2151 | . . . . . . . . . 10 |
31 | 30 | anbi2d 459 | . . . . . . . . 9 |
32 | simpr 109 | . . . . . . . . . . 11 | |
33 | 32 | oveq2d 5790 | . . . . . . . . . 10 |
34 | simpl 108 | . . . . . . . . . . 11 | |
35 | 34 | oveq2d 5790 | . . . . . . . . . 10 |
36 | 33, 35 | eqeq12d 2154 | . . . . . . . . 9 |
37 | 31, 36 | anbi12d 464 | . . . . . . . 8 |
38 | 28, 37 | cbvex4v 1902 | . . . . . . 7 |
39 | 38 | anbi2i 452 | . . . . . 6 |
40 | 19, 39 | sylib 121 | . . . . 5 ~Q0 |
41 | 19.42vv 1883 | . . . . 5 | |
42 | 40, 41 | sylibr 133 | . . . 4 ~Q0 |
43 | 19.42vv 1883 | . . . . 5 | |
44 | 43 | 2exbii 1585 | . . . 4 |
45 | 42, 44 | sylibr 133 | . . 3 ~Q0 |
46 | pm3.22 263 | . . . . . . 7 | |
47 | 46 | adantr 274 | . . . . . 6 |
48 | pm3.22 263 | . . . . . . 7 | |
49 | 48 | ad2antrl 481 | . . . . . 6 |
50 | simprr 521 | . . . . . . . 8 | |
51 | eleq1 2202 | . . . . . . . . . . . . . 14 | |
52 | opelxp 4569 | . . . . . . . . . . . . . 14 | |
53 | 51, 52 | syl6bb 195 | . . . . . . . . . . . . 13 |
54 | 53 | biimpcd 158 | . . . . . . . . . . . 12 |
55 | eleq1 2202 | . . . . . . . . . . . . . 14 | |
56 | opelxp 4569 | . . . . . . . . . . . . . 14 | |
57 | 55, 56 | syl6bb 195 | . . . . . . . . . . . . 13 |
58 | 57 | biimpcd 158 | . . . . . . . . . . . 12 |
59 | 54, 58 | im2anan9 587 | . . . . . . . . . . 11 |
60 | 59 | imp 123 | . . . . . . . . . 10 |
61 | 60 | adantrr 470 | . . . . . . . . 9 |
62 | pinn 7117 | . . . . . . . . . . . 12 | |
63 | nnmcom 6385 | . . . . . . . . . . . 12 | |
64 | 62, 63 | sylan2 284 | . . . . . . . . . . 11 |
65 | pinn 7117 | . . . . . . . . . . . 12 | |
66 | nnmcom 6385 | . . . . . . . . . . . 12 | |
67 | 65, 66 | sylan 281 | . . . . . . . . . . 11 |
68 | 64, 67 | eqeqan12d 2155 | . . . . . . . . . 10 |
69 | 68 | an42s 578 | . . . . . . . . 9 |
70 | 61, 69 | syl 14 | . . . . . . . 8 |
71 | 50, 70 | mpbid 146 | . . . . . . 7 |
72 | 71 | eqcomd 2145 | . . . . . 6 |
73 | 47, 49, 72 | jca32 308 | . . . . 5 |
74 | 73 | 2eximi 1580 | . . . 4 |
75 | 74 | 2eximi 1580 | . . 3 |
76 | 45, 75 | syl 14 | . 2 ~Q0 |
77 | exrot4 1669 | . . 3 | |
78 | 19.42vv 1883 | . . . . 5 | |
79 | 78 | 2exbii 1585 | . . . 4 |
80 | 19.42vv 1883 | . . . . 5 | |
81 | opeq12 3707 | . . . . . . . . . 10 | |
82 | 81 | eqeq2d 2151 | . . . . . . . . 9 |
83 | 82 | anbi1d 460 | . . . . . . . 8 |
84 | simpl 108 | . . . . . . . . . 10 | |
85 | 84 | oveq1d 5789 | . . . . . . . . 9 |
86 | simpr 109 | . . . . . . . . . 10 | |
87 | 86 | oveq1d 5789 | . . . . . . . . 9 |
88 | 85, 87 | eqeq12d 2154 | . . . . . . . 8 |
89 | 83, 88 | anbi12d 464 | . . . . . . 7 |
90 | opeq12 3707 | . . . . . . . . . 10 | |
91 | 90 | eqeq2d 2151 | . . . . . . . . 9 |
92 | 91 | anbi2d 459 | . . . . . . . 8 |
93 | simpr 109 | . . . . . . . . . 10 | |
94 | 93 | oveq2d 5790 | . . . . . . . . 9 |
95 | simpl 108 | . . . . . . . . . 10 | |
96 | 95 | oveq2d 5790 | . . . . . . . . 9 |
97 | 94, 96 | eqeq12d 2154 | . . . . . . . 8 |
98 | 92, 97 | anbi12d 464 | . . . . . . 7 |
99 | 89, 98 | cbvex4v 1902 | . . . . . 6 |
100 | eleq1 2202 | . . . . . . . . . 10 | |
101 | 100 | anbi1d 460 | . . . . . . . . 9 |
102 | eqeq1 2146 | . . . . . . . . . . . 12 | |
103 | 102 | anbi1d 460 | . . . . . . . . . . 11 |
104 | 103 | anbi1d 460 | . . . . . . . . . 10 |
105 | 104 | 4exbidv 1842 | . . . . . . . . 9 |
106 | 101, 105 | anbi12d 464 | . . . . . . . 8 |
107 | eleq1 2202 | . . . . . . . . . 10 | |
108 | 107 | anbi2d 459 | . . . . . . . . 9 |
109 | eqeq1 2146 | . . . . . . . . . . . 12 | |
110 | 109 | anbi2d 459 | . . . . . . . . . . 11 |
111 | 110 | anbi1d 460 | . . . . . . . . . 10 |
112 | 111 | 4exbidv 1842 | . . . . . . . . 9 |
113 | 108, 112 | anbi12d 464 | . . . . . . . 8 |
114 | 2, 1, 106, 113, 17 | brab 4194 | . . . . . . 7 ~Q0 |
115 | 114 | biimpri 132 | . . . . . 6 ~Q0 |
116 | 99, 115 | sylan2br 286 | . . . . 5 ~Q0 |
117 | 80, 116 | sylbi 120 | . . . 4 ~Q0 |
118 | 79, 117 | sylbi 120 | . . 3 ~Q0 |
119 | 77, 118 | sylbi 120 | . 2 ~Q0 |
120 | 76, 119 | syl 14 | 1 ~Q0 ~Q0 |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: wi 4 wa 103 wb 104 wceq 1331 wex 1468 wcel 1480 cop 3530 class class class wbr 3929 com 4504 cxp 4537 (class class class)co 5774 comu 6311 cnpi 7080 ~Q0 ceq0 7094 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 603 ax-in2 604 ax-io 698 ax-5 1423 ax-7 1424 ax-gen 1425 ax-ie1 1469 ax-ie2 1470 ax-8 1482 ax-10 1483 ax-11 1484 ax-i12 1485 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-13 1491 ax-14 1492 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-ext 2121 ax-coll 4043 ax-sep 4046 ax-nul 4054 ax-pow 4098 ax-pr 4131 ax-un 4355 ax-setind 4452 ax-iinf 4502 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 964 df-tru 1334 df-fal 1337 df-nf 1437 df-sb 1736 df-eu 2002 df-mo 2003 df-clab 2126 df-cleq 2132 df-clel 2135 df-nfc 2270 df-ne 2309 df-ral 2421 df-rex 2422 df-reu 2423 df-rab 2425 df-v 2688 df-sbc 2910 df-csb 3004 df-dif 3073 df-un 3075 df-in 3077 df-ss 3084 df-nul 3364 df-pw 3512 df-sn 3533 df-pr 3534 df-op 3536 df-uni 3737 df-int 3772 df-iun 3815 df-br 3930 df-opab 3990 df-mpt 3991 df-tr 4027 df-id 4215 df-iord 4288 df-on 4290 df-suc 4293 df-iom 4505 df-xp 4545 df-rel 4546 df-cnv 4547 df-co 4548 df-dm 4549 df-rn 4550 df-res 4551 df-ima 4552 df-iota 5088 df-fun 5125 df-fn 5126 df-f 5127 df-f1 5128 df-fo 5129 df-f1o 5130 df-fv 5131 df-ov 5777 df-oprab 5778 df-mpo 5779 df-1st 6038 df-2nd 6039 df-recs 6202 df-irdg 6267 df-oadd 6317 df-omul 6318 df-ni 7112 df-enq0 7232 |
This theorem is referenced by: enq0er 7243 |
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