ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0sym Unicode version
Theorem enq0sym 7499
Description: The equivalence relation for nonnegative fractions is symmetric. Lemma for enq0er 7502. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0sym |- ( f ~Q0 g -> g ~Q0 f )
Proof of Theorem enq0sym
Dummy variables a b c d u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2766 . . . . . . . 8 |- f e. _V
2 vex 2766 . . . . . . . 8 |- g e. _V
3 eleq1 2259 . . . . . . . . . 10 |- ( x = f -> ( x e. ( om X. N. ) <-> f e. ( om X. N. ) ) )
43anbi1d 465 . . . . . . . . 9 |- ( x = f -> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) ) )
5 eqeq1 2203 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = f -> ( x = <. z , w >. <-> f = <. z , w >. ) )
65anbi1d 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = f -> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) )
76anbi1d 465 . . . . . . . . . 10 |- ( x = f -> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
874exbidv 1884 . . . . . . . . 9 |- ( x = f -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
94, 8anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( x = f -> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
10 eleq1 2259 . . . . . . . . . 10 |- ( y = g -> ( y e. ( om X. N. ) <-> g e. ( om X. N. ) ) )
1110anbi2d 464 . . . . . . . . 9 |- ( y = g -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) ) )
12 eqeq1 2203 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = g -> ( y = <. v , u >. <-> g = <. v , u >. ) )
1312anbi2d 464 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = g -> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) ) )
1413anbi1d 465 . . . . . . . . . 10 |- ( y = g -> ( ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
15144exbidv 1884 . . . . . . . . 9 |- ( y = g -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
1611, 15anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( y = g -> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
17 df-enq0 7491 . . . . . . . 8 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) }
181, 2, 9, 16, 17brab 4307 . . . . . . 7 |- ( f ~Q0 g <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
1918biimpi 120 . . . . . 6 |- ( f ~Q0 g -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
20 opeq12 3810 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> <. z , w >. = <. a , b >. )
2120eqeq2d 2208 . . . . . . . . . 10 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> ( f = <. z , w >. <-> f = <. a , b >. ) )
2221anbi1d 465 . . . . . . . . 9 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) <-> ( f = <. a , b >. /\ g = <. v , u >. ) ) )
23 simpl 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> z = a )
2423oveq1d 5937 . . . . . . . . . 10 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> ( z .o u ) = ( a .o u ) )
25 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> w = b )
2625oveq1d 5937 . . . . . . . . . 10 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> ( w .o v ) = ( b .o v ) )
2724, 26eqeq12d 2211 . . . . . . . . 9 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> ( ( z .o u ) = ( w .o v ) <-> ( a .o u ) = ( b .o v ) ) )
2822, 27anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( a .o u ) = ( b .o v ) ) ) )
29 opeq12 3810 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> <. v , u >. = <. c , d >. )
3029eqeq2d 2208 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> ( g = <. v , u >. <-> g = <. c , d >. ) )
3130anbi2d 464 . . . . . . . . 9 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. v , u >. ) <-> ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) ) )
32 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> u = d )
3332oveq2d 5938 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> ( a .o u ) = ( a .o d ) )
34 simpl 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> v = c )
3534oveq2d 5938 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> ( b .o v ) = ( b .o c ) )
3633, 35eqeq12d 2211 . . . . . . . . 9 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> ( ( a .o u ) = ( b .o v ) <-> ( a .o d ) = ( b .o c ) ) )
3731, 36anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( ( v = c /\ u = d ) -> ( ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( a .o u ) = ( b .o v ) ) <-> ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) )
3828, 37cbvex4v 1949 . . . . . . 7 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. a E. b E. c E. d ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) )
3938anbi2i 457 . . . . . 6 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. c E. d ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) )
4019, 39sylib 122 . . . . 5 |- ( f ~Q0 g -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. c E. d ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) )
41 19.42vv 1926 . . . . 5 |- ( E. a E. b ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. c E. d ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. c E. d ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) )
4240, 41sylibr 134 . . . 4 |- ( f ~Q0 g -> E. a E. b ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. c E. d ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) )
43 19.42vv 1926 . . . . 5 |- ( E. c E. d ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. c E. d ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) )
44432exbii 1620 . . . 4 |- ( E. a E. b E. c E. d ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) <-> E. a E. b ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. c E. d ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) )
4542, 44sylibr 134 . . 3 |- ( f ~Q0 g -> E. a E. b E. c E. d ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) )
46 pm3.22 265 . . . . . . 7 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) -> ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) )
4746adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) )
48 pm3.22 265 . . . . . . 7 |- ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) -> ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) )
4948ad2antrl 490 . . . . . 6 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) )
50 simprr 531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> ( a .o d ) = ( b .o c ) )
51 eleq1 2259 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = <. a , b >. -> ( f e. ( om X. N. ) <-> <. a , b >. e. ( om X. N. ) ) )
52 opelxp 4693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. a , b >. e. ( om X. N. ) <-> ( a e. om /\ b e. N. ) )
5351, 52bitrdi 196 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = <. a , b >. -> ( f e. ( om X. N. ) <-> ( a e. om /\ b e. N. ) ) )
5453biimpcd 159 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( om X. N. ) -> ( f = <. a , b >. -> ( a e. om /\ b e. N. ) ) )
55 eleq1 2259 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = <. c , d >. -> ( g e. ( om X. N. ) <-> <. c , d >. e. ( om X. N. ) ) )
56 opelxp 4693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. c , d >. e. ( om X. N. ) <-> ( c e. om /\ d e. N. ) )
5755, 56bitrdi 196 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = <. c , d >. -> ( g e. ( om X. N. ) <-> ( c e. om /\ d e. N. ) ) )
5857biimpcd 159 . . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. ( om X. N. ) -> ( g = <. c , d >. -> ( c e. om /\ d e. N. ) ) )
5954, 58im2anan9 598 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) -> ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) -> ( ( a e. om /\ b e. N. ) /\ ( c e. om /\ d e. N. ) ) ) )
6059imp 124 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) ) -> ( ( a e. om /\ b e. N. ) /\ ( c e. om /\ d e. N. ) ) )
6160adantrr 479 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> ( ( a e. om /\ b e. N. ) /\ ( c e. om /\ d e. N. ) ) )
62 pinn 7376 . . . . . . . . . . . 12 |- ( d e. N. -> d e. om )
63 nnmcom 6547 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. om /\ d e. om ) -> ( a .o d ) = ( d .o a ) )
6462, 63sylan2 286 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. om /\ d e. N. ) -> ( a .o d ) = ( d .o a ) )
65 pinn 7376 . . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. N. -> b e. om )
66 nnmcom 6547 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. om /\ c e. om ) -> ( b .o c ) = ( c .o b ) )
6765, 66sylan 283 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. N. /\ c e. om ) -> ( b .o c ) = ( c .o b ) )
6864, 67eqeqan12d 2212 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. om /\ d e. N. ) /\ ( b e. N. /\ c e. om ) ) -> ( ( a .o d ) = ( b .o c ) <-> ( d .o a ) = ( c .o b ) ) )
6968an42s 589 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. om /\ b e. N. ) /\ ( c e. om /\ d e. N. ) ) -> ( ( a .o d ) = ( b .o c ) <-> ( d .o a ) = ( c .o b ) ) )
7061, 69syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> ( ( a .o d ) = ( b .o c ) <-> ( d .o a ) = ( c .o b ) ) )
7150, 70mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> ( d .o a ) = ( c .o b ) )
7271eqcomd 2202 . . . . . 6 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> ( c .o b ) = ( d .o a ) )
7347, 49, 72jca32 310 . . . . 5 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
74732eximi 1615 . . . 4 |- ( E. c E. d ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> E. c E. d ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
75742eximi 1615 . . 3 |- ( E. a E. b E. c E. d ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. a , b >. /\ g = <. c , d >. ) /\ ( a .o d ) = ( b .o c ) ) ) -> E. a E. b E. c E. d ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
7645, 75syl 14 . 2 |- ( f ~Q0 g -> E. a E. b E. c E. d ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
77 exrot4 1705 . . 3 |- ( E. a E. b E. c E. d ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) <-> E. c E. d E. a E. b ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
78 19.42vv 1926 . . . . 5 |- ( E. a E. b ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) <-> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
79782exbii 1620 . . . 4 |- ( E. c E. d E. a E. b ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) <-> E. c E. d ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
80 19.42vv 1926 . . . . 5 |- ( E. c E. d ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) <-> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. c E. d E. a E. b ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
81 opeq12 3810 . . . . . . . . . 10 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> <. z , w >. = <. c , d >. )
8281eqeq2d 2208 . . . . . . . . 9 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( g = <. z , w >. <-> g = <. c , d >. ) )
8382anbi1d 465 . . . . . . . 8 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) <-> ( g = <. c , d >. /\ f = <. v , u >. ) ) )
84 simpl 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> z = c )
8584oveq1d 5937 . . . . . . . . 9 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( z .o u ) = ( c .o u ) )
86 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> w = d )
8786oveq1d 5937 . . . . . . . . 9 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( w .o v ) = ( d .o v ) )
8885, 87eqeq12d 2211 . . . . . . . 8 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( ( z .o u ) = ( w .o v ) <-> ( c .o u ) = ( d .o v ) ) )
8983, 88anbi12d 473 . . . . . . 7 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( ( ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( c .o u ) = ( d .o v ) ) ) )
90 opeq12 3810 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> <. v , u >. = <. a , b >. )
9190eqeq2d 2208 . . . . . . . . 9 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> ( f = <. v , u >. <-> f = <. a , b >. ) )
9291anbi2d 464 . . . . . . . 8 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. v , u >. ) <-> ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) ) )
93 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> u = b )
9493oveq2d 5938 . . . . . . . . 9 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> ( c .o u ) = ( c .o b ) )
95 simpl 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> v = a )
9695oveq2d 5938 . . . . . . . . 9 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> ( d .o v ) = ( d .o a ) )
9794, 96eqeq12d 2211 . . . . . . . 8 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> ( ( c .o u ) = ( d .o v ) <-> ( c .o b ) = ( d .o a ) ) )
9892, 97anbi12d 473 . . . . . . 7 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> ( ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( c .o u ) = ( d .o v ) ) <-> ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) )
9989, 98cbvex4v 1949 . . . . . 6 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. c E. d E. a E. b ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) )
100 eleq1 2259 . . . . . . . . . 10 |- ( x = g -> ( x e. ( om X. N. ) <-> g e. ( om X. N. ) ) )
101100anbi1d 465 . . . . . . . . 9 |- ( x = g -> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( g e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) ) )
102 eqeq1 2203 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = g -> ( x = <. z , w >. <-> g = <. z , w >. ) )
103102anbi1d 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = g -> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( g = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) )
104103anbi1d 465 . . . . . . . . . 10 |- ( x = g -> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( g = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
1051044exbidv 1884 . . . . . . . . 9 |- ( x = g -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
106101, 105anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( x = g -> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
107 eleq1 2259 . . . . . . . . . 10 |- ( y = f -> ( y e. ( om X. N. ) <-> f e. ( om X. N. ) ) )
108107anbi2d 464 . . . . . . . . 9 |- ( y = f -> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) ) )
109 eqeq1 2203 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = f -> ( y = <. v , u >. <-> f = <. v , u >. ) )
110109anbi2d 464 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = f -> ( ( g = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) ) )
111110anbi1d 465 . . . . . . . . . 10 |- ( y = f -> ( ( ( g = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
1121114exbidv 1884 . . . . . . . . 9 |- ( y = f -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
113108, 112anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( y = f -> ( ( ( g e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
1142, 1, 106, 113, 17brab 4307 . . . . . . 7 |- ( g ~Q0 f <-> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
115114biimpri 133 . . . . . 6 |- ( ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( g = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) -> g ~Q0 f )
11699, 115sylan2br 288 . . . . 5 |- ( ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. c E. d E. a E. b ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) -> g ~Q0 f )
11780, 116sylbi 121 . . . 4 |- ( E. c E. d ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) -> g ~Q0 f )
11879, 117sylbi 121 . . 3 |- ( E. c E. d E. a E. b ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) -> g ~Q0 f )
11977, 118sylbi 121 . 2 |- ( E. a E. b E. c E. d ( ( g e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( g = <. c , d >. /\ f = <. a , b >. ) /\ ( c .o b ) = ( d .o a ) ) ) -> g ~Q0 f )
12076, 119syl 14 1 |- ( f ~Q0 g -> g ~Q0 f )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   <.cop 3625   class class class wbr 4033   omcom 4626   X. cxp 4661  (class class class)co 5922   .o comu 6472   N.cnpi 7339   ~Q0 ceq0 7353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-ni 7371  df-enq0 7491
This theorem is referenced by:  enq0er  7502
  Copyright terms: Public domain W3C validator