ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0ref Unicode version

Theorem enq0ref 7209
Description: The equivalence relation for nonnegative fractions is reflexive. Lemma for enq0er 7211. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0ref  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  <->  f ~Q0  f )

Proof of Theorem enq0ref
Dummy variables  u  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxpi 4525 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  ->  E. z E. w ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
) )
2 elxpi 4525 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  ->  E. v E. u ( f  = 
<. v ,  u >.  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) )
3 ee4anv 1886 . . . . . 6  |-  ( E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( f  =  <. v ,  u >.  /\  ( v  e. 
om  /\  u  e.  N. ) ) )  <->  ( E. z E. w ( f  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. ) )  /\  E. v E. u ( f  =  <. v ,  u >.  /\  ( v  e. 
om  /\  u  e.  N. ) ) ) )
41, 2, 3sylanbrc 413 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  ->  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. ) )  /\  (
f  =  <. v ,  u >.  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) ) )
5 eqtr2 2136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  ->  <. z ,  w >.  =  <. v ,  u >. )
6 vex 2663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
7 vex 2663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  w  e. 
_V
86, 7opth 4129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. v ,  u >.  <->  (
z  =  v  /\  w  =  u )
)
95, 8sylib 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  ->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) )
10 oveq1 5749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  v  ->  (
z  .o  u )  =  ( v  .o  u ) )
11 oveq2 5750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  w  ->  (
v  .o  u )  =  ( v  .o  w ) )
1211equcoms 1669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  u  ->  (
v  .o  u )  =  ( v  .o  w ) )
1310, 12sylan9eq 2170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  v  /\  w  =  u )  ->  ( z  .o  u
)  =  ( v  .o  w ) )
149, 13syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  ->  ( z  .o  u )  =  ( v  .o  w ) )
1514ancli 321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  ->  ( (
f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( v  .o  w
) ) )
1615ad2ant2r 500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( f  =  <. v ,  u >.  /\  ( v  e. 
om  /\  u  e.  N. ) ) )  -> 
( ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( v  .o  w ) ) )
17 pinn 7085 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  N.  ->  w  e.  om )
18 nnmcom 6353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  e.  om )  ->  ( v  .o  w
)  =  ( w  .o  v ) )
1917, 18sylan2 284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  e.  N. )  ->  ( v  .o  w
)  =  ( w  .o  v ) )
2019eqeq2d 2129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  .o  u )  =  ( v  .o  w )  <-> 
( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )
2120ancoms 266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )  ->  ( ( z  .o  u )  =  ( v  .o  w )  <-> 
( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )
2221ad2ant2lr 501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .o  u )  =  ( v  .o  w )  <->  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) )
2322ad2ant2l 499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( f  =  <. v ,  u >.  /\  ( v  e. 
om  /\  u  e.  N. ) ) )  -> 
( ( z  .o  u )  =  ( v  .o  w )  <-> 
( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )
2423anbi2d 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( f  =  <. v ,  u >.  /\  ( v  e. 
om  /\  u  e.  N. ) ) )  -> 
( ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( v  .o  w ) )  <-> 
( ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) )
2516, 24mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( f  =  <. v ,  u >.  /\  ( v  e. 
om  /\  u  e.  N. ) ) )  -> 
( ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) )
26252eximi 1565 . . . . . 6  |-  ( E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( f  =  <. v ,  u >.  /\  ( v  e. 
om  /\  u  e.  N. ) ) )  ->  E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) ) )
27262eximi 1565 . . . . 5  |-  ( E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( f  =  <. v ,  u >.  /\  ( v  e. 
om  /\  u  e.  N. ) ) )  ->  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) ) )
284, 27syl 14 . . . 4  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  ->  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )
2928ancli 321 . . 3  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  ->  ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
30 vex 2663 . . . . 5  |-  f  e. 
_V
31 eleq1 2180 . . . . . . 7  |-  ( x  =  f  ->  (
x  e.  ( om 
X.  N. )  <->  f  e.  ( om  X.  N. )
) )
3231anbi1d 460 . . . . . 6  |-  ( x  =  f  ->  (
( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  <-> 
( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) ) ) )
33 eqeq1 2124 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  f  ->  (
x  =  <. z ,  w >.  <->  f  =  <. z ,  w >. )
)
3433anbi1d 460 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  f  ->  (
( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  <->  ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. ) ) )
3534anbi1d 460 . . . . . . 7  |-  ( x  =  f  ->  (
( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  ( (
f  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) ) ) )
36354exbidv 1826 . . . . . 6  |-  ( x  =  f  ->  ( E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) )  <->  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
3732, 36anbi12d 464 . . . . 5  |-  ( x  =  f  ->  (
( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) ) )
38 eleq1 2180 . . . . . . 7  |-  ( y  =  f  ->  (
y  e.  ( om 
X.  N. )  <->  f  e.  ( om  X.  N. )
) )
3938anbi2d 459 . . . . . 6  |-  ( y  =  f  ->  (
( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  <-> 
( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) ) ) )
40 eqeq1 2124 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  f  ->  (
y  =  <. v ,  u >.  <->  f  =  <. v ,  u >. )
)
4140anbi2d 459 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  f  ->  (
( f  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  <->  ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. ) ) )
4241anbi1d 460 . . . . . . 7  |-  ( y  =  f  ->  (
( ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  ( (
f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) ) ) )
43424exbidv 1826 . . . . . 6  |-  ( y  =  f  ->  ( E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) )  <->  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
4439, 43anbi12d 464 . . . . 5  |-  ( y  =  f  ->  (
( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) ) )
45 df-enq0 7200 . . . . 5  |- ~Q0  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) }
4630, 30, 37, 44, 45brab 4164 . . . 4  |-  ( f ~Q0  f  <->  ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
47 anidm 393 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( om 
X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  <->  f  e.  ( om  X.  N. )
)
4847anbi1i 453 . . . 4  |-  ( ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
4946, 48bitri 183 . . 3  |-  ( f ~Q0  f  <->  ( f  e.  ( om 
X.  N. )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
5029, 49sylibr 133 . 2  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  ->  f ~Q0  f )
5149simplbi 272 . 2  |-  ( f ~Q0  f  ->  f  e.  ( om 
X.  N. ) )
5250, 51impbii 125 1  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  <->  f ~Q0  f )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   <.cop 3500   class class class wbr 3899   omcom 4474    X. cxp 4507  (class class class)co 5742    .o comu 6279   N.cnpi 7048   ~Q0 ceq0 7062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-ni 7080  df-enq0 7200
This theorem is referenced by:  enq0er  7211
  Copyright terms: Public domain W3C validator