ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0ref Unicode version

Theorem enq0ref 7431
Description: The equivalence relation for nonnegative fractions is reflexive. Lemma for enq0er 7433. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0ref  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  <->  f ~Q0  f )

Proof of Theorem enq0ref
Dummy variables  u  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxpi 4642 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  ->  E. z E. w ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
) )
2 elxpi 4642 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  ->  E. v E. u ( f  = 
<. v ,  u >.  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) )
3 ee4anv 1934 . . . . . 6  |-  ( E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( f  =  <. v ,  u >.  /\  ( v  e. 
om  /\  u  e.  N. ) ) )  <->  ( E. z E. w ( f  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. ) )  /\  E. v E. u ( f  =  <. v ,  u >.  /\  ( v  e. 
om  /\  u  e.  N. ) ) ) )
41, 2, 3sylanbrc 417 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  ->  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. ) )  /\  (
f  =  <. v ,  u >.  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) ) )
5 eqtr2 2196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  ->  <. z ,  w >.  =  <. v ,  u >. )
6 vex 2740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
7 vex 2740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  w  e. 
_V
86, 7opth 4237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. v ,  u >.  <->  (
z  =  v  /\  w  =  u )
)
95, 8sylib 122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  ->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) )
10 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  v  ->  (
z  .o  u )  =  ( v  .o  u ) )
11 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  w  ->  (
v  .o  u )  =  ( v  .o  w ) )
1211equcoms 1708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  u  ->  (
v  .o  u )  =  ( v  .o  w ) )
1310, 12sylan9eq 2230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  v  /\  w  =  u )  ->  ( z  .o  u
)  =  ( v  .o  w ) )
149, 13syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  ->  ( z  .o  u )  =  ( v  .o  w ) )
1514ancli 323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  ->  ( (
f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( v  .o  w
) ) )
1615ad2ant2r 509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( f  =  <. v ,  u >.  /\  ( v  e. 
om  /\  u  e.  N. ) ) )  -> 
( ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( v  .o  w ) ) )
17 pinn 7307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  N.  ->  w  e.  om )
18 nnmcom 6489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  e.  om )  ->  ( v  .o  w
)  =  ( w  .o  v ) )
1917, 18sylan2 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  e.  N. )  ->  ( v  .o  w
)  =  ( w  .o  v ) )
2019eqeq2d 2189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  .o  u )  =  ( v  .o  w )  <-> 
( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )
2120ancoms 268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )  ->  ( ( z  .o  u )  =  ( v  .o  w )  <-> 
( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )
2221ad2ant2lr 510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .o  u )  =  ( v  .o  w )  <->  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) )
2322ad2ant2l 508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( f  =  <. v ,  u >.  /\  ( v  e. 
om  /\  u  e.  N. ) ) )  -> 
( ( z  .o  u )  =  ( v  .o  w )  <-> 
( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )
2423anbi2d 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( f  =  <. v ,  u >.  /\  ( v  e. 
om  /\  u  e.  N. ) ) )  -> 
( ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( v  .o  w ) )  <-> 
( ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) )
2516, 24mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( f  =  <. v ,  u >.  /\  ( v  e. 
om  /\  u  e.  N. ) ) )  -> 
( ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) )
26252eximi 1601 . . . . . 6  |-  ( E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( f  =  <. v ,  u >.  /\  ( v  e. 
om  /\  u  e.  N. ) ) )  ->  E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) ) )
27262eximi 1601 . . . . 5  |-  ( E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( f  =  <. v ,  u >.  /\  ( v  e. 
om  /\  u  e.  N. ) ) )  ->  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) ) )
284, 27syl 14 . . . 4  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  ->  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )
2928ancli 323 . . 3  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  ->  ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
30 vex 2740 . . . . 5  |-  f  e. 
_V
31 eleq1 2240 . . . . . . 7  |-  ( x  =  f  ->  (
x  e.  ( om 
X.  N. )  <->  f  e.  ( om  X.  N. )
) )
3231anbi1d 465 . . . . . 6  |-  ( x  =  f  ->  (
( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  <-> 
( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) ) ) )
33 eqeq1 2184 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  f  ->  (
x  =  <. z ,  w >.  <->  f  =  <. z ,  w >. )
)
3433anbi1d 465 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  f  ->  (
( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  <->  ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. ) ) )
3534anbi1d 465 . . . . . . 7  |-  ( x  =  f  ->  (
( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  ( (
f  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) ) ) )
36354exbidv 1870 . . . . . 6  |-  ( x  =  f  ->  ( E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) )  <->  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
3732, 36anbi12d 473 . . . . 5  |-  ( x  =  f  ->  (
( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) ) )
38 eleq1 2240 . . . . . . 7  |-  ( y  =  f  ->  (
y  e.  ( om 
X.  N. )  <->  f  e.  ( om  X.  N. )
) )
3938anbi2d 464 . . . . . 6  |-  ( y  =  f  ->  (
( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  <-> 
( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) ) ) )
40 eqeq1 2184 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  f  ->  (
y  =  <. v ,  u >.  <->  f  =  <. v ,  u >. )
)
4140anbi2d 464 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  f  ->  (
( f  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  <->  ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. ) ) )
4241anbi1d 465 . . . . . . 7  |-  ( y  =  f  ->  (
( ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  ( (
f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) ) ) )
43424exbidv 1870 . . . . . 6  |-  ( y  =  f  ->  ( E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) )  <->  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
4439, 43anbi12d 473 . . . . 5  |-  ( y  =  f  ->  (
( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) ) )
45 df-enq0 7422 . . . . 5  |- ~Q0  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) }
4630, 30, 37, 44, 45brab 4272 . . . 4  |-  ( f ~Q0  f  <->  ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
47 anidm 396 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( om 
X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  <->  f  e.  ( om  X.  N. )
)
4847anbi1i 458 . . . 4  |-  ( ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
4946, 48bitri 184 . . 3  |-  ( f ~Q0  f  <->  ( f  e.  ( om 
X.  N. )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
5029, 49sylibr 134 . 2  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  ->  f ~Q0  f )
5149simplbi 274 . 2  |-  ( f ~Q0  f  ->  f  e.  ( om 
X.  N. ) )
5250, 51impbii 126 1  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  <->  f ~Q0  f )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   <.cop 3595   class class class wbr 4003   omcom 4589    X. cxp 4624  (class class class)co 5874    .o comu 6414   N.cnpi 7270   ~Q0 ceq0 7284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-ni 7302  df-enq0 7422
This theorem is referenced by:  enq0er  7433
  Copyright terms: Public domain W3C validator