Theorem enq0ref 7806

Description: The equivalence relation for nonnegative fractions is reflexive. Lemma for enq0er 7808. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0ref	|- ( f e. ( om X. N. ) <-> f ~Q0 f )

Proof of Theorem enq0ref

Dummy variables u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxpi 4792	. . . . . 6 |- ( f e. ( om X. N. ) -> E. z E. w ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) )
2		elxpi 4792	. . . . . 6 |- ( f e. ( om X. N. ) -> E. v E. u ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) )
3		ee4anv 1994	. . . . . 6 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) <-> ( E. z E. w ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ E. v E. u ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 421	. . . . 5 |- ( f e. ( om X. N. ) -> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) )
5		eqtr2 2257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) -> <. z , w >. = <. v , u >. )
6		vex 2824	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
7		vex 2824	. . . . . . . . . . . . 13 |- w e. _V
8	6, 7	opth 4379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. z , w >. = <. v , u >. <-> ( z = v /\ w = u ) )
9	5, 8	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) -> ( z = v /\ w = u ) )
10		oveq1 6095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = v -> ( z .o u ) = ( v .o u ) )
11		oveq2 6096	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = w -> ( v .o u ) = ( v .o w ) )
12	11	equcoms 1760	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = u -> ( v .o u ) = ( v .o w ) )
13	10, 12	sylan9eq 2291	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = v /\ w = u ) -> ( z .o u ) = ( v .o w ) )
14	9, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) -> ( z .o u ) = ( v .o w ) )
15	14	ancli 323	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) -> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( v .o w ) ) )
16	15	ad2ant2r 513	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( v .o w ) ) )
17		pinn 7682	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. N. -> w e. om )
18		nnmcom 6766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. om /\ w e. om ) -> ( v .o w ) = ( w .o v ) )
19	17, 18	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. om /\ w e. N. ) -> ( v .o w ) = ( w .o v ) )
20	19	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w e. N. ) -> ( ( z .o u ) = ( v .o w ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
21	20	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. N. /\ v e. om ) -> ( ( z .o u ) = ( v .o w ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
22	21	ad2ant2lr 514	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .o u ) = ( v .o w ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
23	22	ad2ant2l 512	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( z .o u ) = ( v .o w ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
24	23	anbi2d 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( v .o w ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
25	16, 24	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
26	25	2eximi 1654	. . . . . 6 |- ( E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
27	26	2eximi 1654	. . . . 5 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
28	4, 27	syl 14	. . . 4 |- ( f e. ( om X. N. ) -> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
29	28	ancli 323	. . 3 |- ( f e. ( om X. N. ) -> ( f e. ( om X. N. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
30		vex 2824	. . . . 5 |- f e. _V
31		eleq1 2301	. . . . . . 7 |- ( x = f -> ( x e. ( om X. N. ) <-> f e. ( om X. N. ) ) )
32	31	anbi1d 469	. . . . . 6 |- ( x = f -> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) ) )
33		eqeq1 2245	. . . . . . . . 9 |- ( x = f -> ( x = <. z , w >. <-> f = <. z , w >. ) )
34	33	anbi1d 469	. . . . . . . 8 |- ( x = f -> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) )
35	34	anbi1d 469	. . . . . . 7 |- ( x = f -> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
36	35	4exbidv 1923	. . . . . 6 |- ( x = f -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
37	32, 36	anbi12d 477	. . . . 5 |- ( x = f -> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
38		eleq1 2301	. . . . . . 7 |- ( y = f -> ( y e. ( om X. N. ) <-> f e. ( om X. N. ) ) )
39	38	anbi2d 468	. . . . . 6 |- ( y = f -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) ) )
40		eqeq1 2245	. . . . . . . . 9 |- ( y = f -> ( y = <. v , u >. <-> f = <. v , u >. ) )
41	40	anbi2d 468	. . . . . . . 8 |- ( y = f -> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) ) )
42	41	anbi1d 469	. . . . . . 7 |- ( y = f -> ( ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
43	42	4exbidv 1923	. . . . . 6 |- ( y = f -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
44	39, 43	anbi12d 477	. . . . 5 |- ( y = f -> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
45		df-enq0 7797	. . . . 5 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) }
46	30, 30, 37, 44, 45	brab 4417	. . . 4 |- ( f ~Q0 f <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
47		anidm 400	. . . . 5 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) <-> f e. ( om X. N. ) )
48	47	anbi1i 462	. . . 4 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
49	46, 48	bitri 184	. . 3 |- ( f ~Q0 f <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
50	29, 49	sylibr 134	. 2 |- ( f e. ( om X. N. ) -> f ~Q0 f )
51	49	simplbi 274	. 2 |- ( f ~Q0 f -> f e. ( om X. N. ) )
52	50, 51	impbii 126	1 |- ( f e. ( om X. N. ) <-> f ~Q0 f )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   <.cop 3712   class class class wbr 4131   omcom 4739   X. cxp 4774  (class class class)co 6088   .o comu 6689   N.cnpi 7645   ~_Q0 ceq0 7659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-ni 7677  df-enq0 7797

This theorem is used by:  enq0er  7808