Theorem enq0ref 7423

Description: The equivalence relation for nonnegative fractions is reflexive. Lemma for enq0er 7425. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0ref	|- ( f e. ( om X. N. ) <-> f ~Q0 f )

Proof of Theorem enq0ref

Dummy variables u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxpi 4639	. . . . . 6 |- ( f e. ( om X. N. ) -> E. z E. w ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) )
2		elxpi 4639	. . . . . 6 |- ( f e. ( om X. N. ) -> E. v E. u ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) )
3		ee4anv 1934	. . . . . 6 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) <-> ( E. z E. w ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ E. v E. u ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( f e. ( om X. N. ) -> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) )
5		eqtr2 2196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) -> <. z , w >. = <. v , u >. )
6		vex 2740	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
7		vex 2740	. . . . . . . . . . . . 13 |- w e. _V
8	6, 7	opth 4234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. z , w >. = <. v , u >. <-> ( z = v /\ w = u ) )
9	5, 8	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) -> ( z = v /\ w = u ) )
10		oveq1 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = v -> ( z .o u ) = ( v .o u ) )
11		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = w -> ( v .o u ) = ( v .o w ) )
12	11	equcoms 1708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = u -> ( v .o u ) = ( v .o w ) )
13	10, 12	sylan9eq 2230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = v /\ w = u ) -> ( z .o u ) = ( v .o w ) )
14	9, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) -> ( z .o u ) = ( v .o w ) )
15	14	ancli 323	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) -> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( v .o w ) ) )
16	15	ad2ant2r 509	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( v .o w ) ) )
17		pinn 7299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. N. -> w e. om )
18		nnmcom 6484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. om /\ w e. om ) -> ( v .o w ) = ( w .o v ) )
19	17, 18	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. om /\ w e. N. ) -> ( v .o w ) = ( w .o v ) )
20	19	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w e. N. ) -> ( ( z .o u ) = ( v .o w ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
21	20	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. N. /\ v e. om ) -> ( ( z .o u ) = ( v .o w ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
22	21	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .o u ) = ( v .o w ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
23	22	ad2ant2l 508	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( z .o u ) = ( v .o w ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
24	23	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( v .o w ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
25	16, 24	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
26	25	2eximi 1601	. . . . . 6 |- ( E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
27	26	2eximi 1601	. . . . 5 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
28	4, 27	syl 14	. . . 4 |- ( f e. ( om X. N. ) -> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
29	28	ancli 323	. . 3 |- ( f e. ( om X. N. ) -> ( f e. ( om X. N. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
30		vex 2740	. . . . 5 |- f e. _V
31		eleq1 2240	. . . . . . 7 |- ( x = f -> ( x e. ( om X. N. ) <-> f e. ( om X. N. ) ) )
32	31	anbi1d 465	. . . . . 6 |- ( x = f -> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) ) )
33		eqeq1 2184	. . . . . . . . 9 |- ( x = f -> ( x = <. z , w >. <-> f = <. z , w >. ) )
34	33	anbi1d 465	. . . . . . . 8 |- ( x = f -> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) )
35	34	anbi1d 465	. . . . . . 7 |- ( x = f -> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
36	35	4exbidv 1870	. . . . . 6 |- ( x = f -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
37	32, 36	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( x = f -> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
38		eleq1 2240	. . . . . . 7 |- ( y = f -> ( y e. ( om X. N. ) <-> f e. ( om X. N. ) ) )
39	38	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( y = f -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) ) )
40		eqeq1 2184	. . . . . . . . 9 |- ( y = f -> ( y = <. v , u >. <-> f = <. v , u >. ) )
41	40	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( y = f -> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) ) )
42	41	anbi1d 465	. . . . . . 7 |- ( y = f -> ( ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
43	42	4exbidv 1870	. . . . . 6 |- ( y = f -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
44	39, 43	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( y = f -> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
45		df-enq0 7414	. . . . 5 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) }
46	30, 30, 37, 44, 45	brab 4269	. . . 4 |- ( f ~Q0 f <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
47		anidm 396	. . . . 5 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) <-> f e. ( om X. N. ) )
48	47	anbi1i 458	. . . 4 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
49	46, 48	bitri 184	. . 3 |- ( f ~Q0 f <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
50	29, 49	sylibr 134	. 2 |- ( f e. ( om X. N. ) -> f ~Q0 f )
51	49	simplbi 274	. 2 |- ( f ~Q0 f -> f e. ( om X. N. ) )
52	50, 51	impbii 126	1 |- ( f e. ( om X. N. ) <-> f ~Q0 f )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   <.cop 3594   class class class wbr 4000   omcom 4586   X. cxp 4621  (class class class)co 5869   .o comu 6409   N.cnpi 7262   ~_Q0 ceq0 7276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-ni 7294  df-enq0 7414

This theorem is referenced by:  enq0er  7425