ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0ref Unicode version

Theorem enq0ref 7205
Description: The equivalence relation for nonnegative fractions is reflexive. Lemma for enq0er 7207. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0ref  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  <->  f ~Q0  f )

Proof of Theorem enq0ref
Dummy variables  u  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxpi 4523 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  ->  E. z E. w ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
) )
2 elxpi 4523 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  ->  E. v E. u ( f  = 
<. v ,  u >.  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) )
3 ee4anv 1884 . . . . . 6  |-  ( E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( f  =  <. v ,  u >.  /\  ( v  e. 
om  /\  u  e.  N. ) ) )  <->  ( E. z E. w ( f  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. ) )  /\  E. v E. u ( f  =  <. v ,  u >.  /\  ( v  e. 
om  /\  u  e.  N. ) ) ) )
41, 2, 3sylanbrc 411 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  ->  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. ) )  /\  (
f  =  <. v ,  u >.  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) ) )
5 eqtr2 2134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  ->  <. z ,  w >.  =  <. v ,  u >. )
6 vex 2661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
7 vex 2661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  w  e. 
_V
86, 7opth 4127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. v ,  u >.  <->  (
z  =  v  /\  w  =  u )
)
95, 8sylib 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  ->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) )
10 oveq1 5747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  v  ->  (
z  .o  u )  =  ( v  .o  u ) )
11 oveq2 5748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  w  ->  (
v  .o  u )  =  ( v  .o  w ) )
1211equcoms 1667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  u  ->  (
v  .o  u )  =  ( v  .o  w ) )
1310, 12sylan9eq 2168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  v  /\  w  =  u )  ->  ( z  .o  u
)  =  ( v  .o  w ) )
149, 13syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  ->  ( z  .o  u )  =  ( v  .o  w ) )
1514ancli 319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  ->  ( (
f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( v  .o  w
) ) )
1615ad2ant2r 498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( f  =  <. v ,  u >.  /\  ( v  e. 
om  /\  u  e.  N. ) ) )  -> 
( ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( v  .o  w ) ) )
17 pinn 7081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  N.  ->  w  e.  om )
18 nnmcom 6351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  e.  om )  ->  ( v  .o  w
)  =  ( w  .o  v ) )
1917, 18sylan2 282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  e.  N. )  ->  ( v  .o  w
)  =  ( w  .o  v ) )
2019eqeq2d 2127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  .o  u )  =  ( v  .o  w )  <-> 
( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )
2120ancoms 266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )  ->  ( ( z  .o  u )  =  ( v  .o  w )  <-> 
( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )
2221ad2ant2lr 499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .o  u )  =  ( v  .o  w )  <->  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) )
2322ad2ant2l 497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( f  =  <. v ,  u >.  /\  ( v  e. 
om  /\  u  e.  N. ) ) )  -> 
( ( z  .o  u )  =  ( v  .o  w )  <-> 
( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )
2423anbi2d 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( f  =  <. v ,  u >.  /\  ( v  e. 
om  /\  u  e.  N. ) ) )  -> 
( ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( v  .o  w ) )  <-> 
( ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) )
2516, 24mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( f  =  <. v ,  u >.  /\  ( v  e. 
om  /\  u  e.  N. ) ) )  -> 
( ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) )
26252eximi 1563 . . . . . 6  |-  ( E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( f  =  <. v ,  u >.  /\  ( v  e. 
om  /\  u  e.  N. ) ) )  ->  E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) ) )
27262eximi 1563 . . . . 5  |-  ( E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( f  =  <. v ,  u >.  /\  ( v  e. 
om  /\  u  e.  N. ) ) )  ->  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) ) )
284, 27syl 14 . . . 4  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  ->  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )
2928ancli 319 . . 3  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  ->  ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
30 vex 2661 . . . . 5  |-  f  e. 
_V
31 eleq1 2178 . . . . . . 7  |-  ( x  =  f  ->  (
x  e.  ( om 
X.  N. )  <->  f  e.  ( om  X.  N. )
) )
3231anbi1d 458 . . . . . 6  |-  ( x  =  f  ->  (
( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  <-> 
( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) ) ) )
33 eqeq1 2122 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  f  ->  (
x  =  <. z ,  w >.  <->  f  =  <. z ,  w >. )
)
3433anbi1d 458 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  f  ->  (
( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  <->  ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. ) ) )
3534anbi1d 458 . . . . . . 7  |-  ( x  =  f  ->  (
( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  ( (
f  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) ) ) )
36354exbidv 1824 . . . . . 6  |-  ( x  =  f  ->  ( E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) )  <->  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
3732, 36anbi12d 462 . . . . 5  |-  ( x  =  f  ->  (
( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) ) )
38 eleq1 2178 . . . . . . 7  |-  ( y  =  f  ->  (
y  e.  ( om 
X.  N. )  <->  f  e.  ( om  X.  N. )
) )
3938anbi2d 457 . . . . . 6  |-  ( y  =  f  ->  (
( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  <-> 
( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) ) ) )
40 eqeq1 2122 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  f  ->  (
y  =  <. v ,  u >.  <->  f  =  <. v ,  u >. )
)
4140anbi2d 457 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  f  ->  (
( f  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  <->  ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. ) ) )
4241anbi1d 458 . . . . . . 7  |-  ( y  =  f  ->  (
( ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  ( (
f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) ) ) )
43424exbidv 1824 . . . . . 6  |-  ( y  =  f  ->  ( E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) )  <->  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
4439, 43anbi12d 462 . . . . 5  |-  ( y  =  f  ->  (
( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) ) )
45 df-enq0 7196 . . . . 5  |- ~Q0  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) }
4630, 30, 37, 44, 45brab 4162 . . . 4  |-  ( f ~Q0  f  <->  ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
47 anidm 391 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( om 
X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  <->  f  e.  ( om  X.  N. )
)
4847anbi1i 451 . . . 4  |-  ( ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
4946, 48bitri 183 . . 3  |-  ( f ~Q0  f  <->  ( f  e.  ( om 
X.  N. )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
5029, 49sylibr 133 . 2  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  ->  f ~Q0  f )
5149simplbi 270 . 2  |-  ( f ~Q0  f  ->  f  e.  ( om 
X.  N. ) )
5250, 51impbii 125 1  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  <->  f ~Q0  f )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   <.cop 3498   class class class wbr 3897   omcom 4472    X. cxp 4505  (class class class)co 5740    .o comu 6277   N.cnpi 7044   ~Q0 ceq0 7058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-oadd 6283  df-omul 6284  df-ni 7076  df-enq0 7196
This theorem is referenced by:  enq0er  7207
  Copyright terms: Public domain W3C validator