Theorem frec2uzisod 10180

Description: G (see frec2uz0d 10172) is an isomorphism from natural ordinals to upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzisod	|- ( ph -> G Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` C ) ) )

Distinct variable groups:   x, C   ph, x

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem frec2uzisod

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. . 3 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frec2uz.2	. . 3 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
3	1, 2	frec2uzf1od 10179	. 2 |- ( ph -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) )
4		epel 4214	. . . 4 |- ( y _E z <-> y e. z )
5	1	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> C e. ZZ )
6		simprl 520	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> y e. om )
7		simprr 521	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> z e. om )
8	5, 2, 6, 7	frec2uzlt2d 10177	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> ( y e. z <-> ( G ` y ) < ( G ` z ) ) )
9	4, 8	syl5bb 191	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> ( y _E z <-> ( G ` y ) < ( G ` z ) ) )
10	9	ralrimivva 2514	. 2 |- ( ph -> A. y e. om A. z e. om ( y _E z <-> ( G ` y ) < ( G ` z ) ) )
11		df-isom 5132	. 2 |- ( G Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` C ) ) <-> ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) /\ A. y e. om A. z e. om ( y _E z <-> ( G ` y ) < ( G ` z ) ) ) )
12	3, 10, 11	sylanbrc 413	1 |- ( ph -> G Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   _E cep 4209   omcom 4504   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123   Isom wiso 5124  (class class class)co 5774  freccfrec 6287   1c1 7621   + caddc 7623   < clt 7800   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327

This theorem is referenced by: (None)