Theorem frec2uzisod 10478

Description: G (see frec2uz0d 10470) is an isomorphism from natural ordinals to upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzisod	|- ( ph -> G Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` C ) ) )

Distinct variable groups:   x, C   ph, x

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem frec2uzisod

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. . 3 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frec2uz.2	. . 3 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
3	1, 2	frec2uzf1od 10477	. 2 |- ( ph -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) )
4		epel 4323	. . . 4 |- ( y _E z <-> y e. z )
5	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> C e. ZZ )
6		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> y e. om )
7		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> z e. om )
8	5, 2, 6, 7	frec2uzlt2d 10475	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> ( y e. z <-> ( G ` y ) < ( G ` z ) ) )
9	4, 8	bitrid 192	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> ( y _E z <-> ( G ` y ) < ( G ` z ) ) )
10	9	ralrimivva 2576	. 2 |- ( ph -> A. y e. om A. z e. om ( y _E z <-> ( G ` y ) < ( G ` z ) ) )
11		df-isom 5263	. 2 |- ( G Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` C ) ) <-> ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) /\ A. y e. om A. z e. om ( y _E z <-> ( G ` y ) < ( G ` z ) ) ) )
12	3, 10, 11	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> G Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   _E cep 4318   omcom 4622   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254   Isom wiso 5255  (class class class)co 5918  freccfrec 6443   1c1 7873   + caddc 7875   < clt 8054   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593

This theorem is referenced by: (None)