Theorem frec2uzisod 10822

Description: G (see frec2uz0d 10814) is an isomorphism from natural ordinals to upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzisod	|- ( ph -> G Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` C ) ) )

Distinct variable groups:   x, C   ph, x

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem frec2uzisod

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. . 3 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frec2uz.2	. . 3 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
3	1, 2	frec2uzf1od 10821	. 2 |- ( ph -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) )
4		epel 4432	. . . 4 |- ( y _E z <-> y e. z )
5	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> C e. ZZ )
6		simprl 535	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> y e. om )
7		simprr 537	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> z e. om )
8	5, 2, 6, 7	frec2uzlt2d 10819	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> ( y e. z <-> ( G ` y ) < ( G ` z ) ) )
9	4, 8	bitrid 192	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> ( y _E z <-> ( G ` y ) < ( G ` z ) ) )
10	9	ralrimivva 2632	. 2 |- ( ph -> A. y e. om A. z e. om ( y _E z <-> ( G ` y ) < ( G ` z ) ) )
11		df-isom 5381	. 2 |- ( G Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` C ) ) <-> ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) /\ A. y e. om A. z e. om ( y _E z <-> ( G ` y ) < ( G ` z ) ) ) )
12	3, 10, 11	sylanbrc 421	1 |- ( ph -> G Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   _E cep 4427   omcom 4732   -1-1-onto->wf1o 5371   ` cfv 5372   Isom wiso 5373  (class class class)co 6075  freccfrec 6651   1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901

This theorem is referenced by: (None)