Theorem frec2uzisod 10793

Description: G (see frec2uz0d 10785) is an isomorphism from natural ordinals to upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzisod	|- ( ph -> G Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` C ) ) )

Distinct variable groups:   x, C   ph, x

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem frec2uzisod

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. . 3 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frec2uz.2	. . 3 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
3	1, 2	frec2uzf1od 10792	. 2 |- ( ph -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) )
4		epel 4418	. . . 4 |- ( y _E z <-> y e. z )
5	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> C e. ZZ )
6		simprl 531	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> y e. om )
7		simprr 533	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> z e. om )
8	5, 2, 6, 7	frec2uzlt2d 10790	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> ( y e. z <-> ( G ` y ) < ( G ` z ) ) )
9	4, 8	bitrid 192	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> ( y _E z <-> ( G ` y ) < ( G ` z ) ) )
10	9	ralrimivva 2626	. 2 |- ( ph -> A. y e. om A. z e. om ( y _E z <-> ( G ` y ) < ( G ` z ) ) )
11		df-isom 5366	. 2 |- ( G Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` C ) ) <-> ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) /\ A. y e. om A. z e. om ( y _E z <-> ( G ` y ) < ( G ` z ) ) ) )
12	3, 10, 11	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> G Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   _E cep 4413   omcom 4717   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357   Isom wiso 5358  (class class class)co 6058  freccfrec 6634   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-eprel 4415  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872

This theorem is referenced by: (None)