ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzisod Unicode version

Theorem frec2uzisod 9877
Description:  G (see frec2uz0d 9869) is an isomorphism from natural ordinals to upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
Assertion
Ref Expression
frec2uzisod  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, C    ph, x
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem frec2uzisod
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2 frec2uz.2 . . 3  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
31, 2frec2uzf1od 9876 . 2  |-  ( ph  ->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )
)
4 epel 4130 . . . 4  |-  ( y  _E  z  <->  y  e.  z )
51adantr 271 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  om  /\  z  e. 
om ) )  ->  C  e.  ZZ )
6 simprl 499 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  om  /\  z  e. 
om ) )  -> 
y  e.  om )
7 simprr 500 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  om  /\  z  e. 
om ) )  -> 
z  e.  om )
85, 2, 6, 7frec2uzlt2d 9874 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  om  /\  z  e. 
om ) )  -> 
( y  e.  z  <-> 
( G `  y
)  <  ( G `  z ) ) )
94, 8syl5bb 191 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  om  /\  z  e. 
om ) )  -> 
( y  _E  z  <->  ( G `  y )  <  ( G `  z ) ) )
109ralrimivva 2456 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  om  A. z  e.  om  (
y  _E  z  <->  ( G `  y )  <  ( G `  z )
) )
11 df-isom 5039 . 2  |-  ( G 
Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C ) )  <->  ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )  /\  A. y  e.  om  A. z  e.  om  (
y  _E  z  <->  ( G `  y )  <  ( G `  z )
) ) )
123, 10, 11sylanbrc 409 1  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1290    e. wcel 1439   A.wral 2360   class class class wbr 3853    |-> cmpt 3907    _E cep 4125   omcom 4420   -1-1-onto->wf1o 5029   ` cfv 5030    Isom wiso 5031  (class class class)co 5668  freccfrec 6171   1c1 7414    + caddc 7416    < clt 7585   ZZcz 8813   ZZ>=cuz 9082
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-addcom 7508  ax-addass 7510  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-ltadd 7524
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-eprel 4127  df-id 4131  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-recs 6086  df-frec 6172  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-inn 8486  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator