ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzisod Unicode version

Theorem frec2uzisod 10350
Description:  G (see frec2uz0d 10342) is an isomorphism from natural ordinals to upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
Assertion
Ref Expression
frec2uzisod  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, C    ph, x
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem frec2uzisod
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2 frec2uz.2 . . 3  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
31, 2frec2uzf1od 10349 . 2  |-  ( ph  ->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )
)
4 epel 4275 . . . 4  |-  ( y  _E  z  <->  y  e.  z )
51adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  om  /\  z  e. 
om ) )  ->  C  e.  ZZ )
6 simprl 526 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  om  /\  z  e. 
om ) )  -> 
y  e.  om )
7 simprr 527 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  om  /\  z  e. 
om ) )  -> 
z  e.  om )
85, 2, 6, 7frec2uzlt2d 10347 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  om  /\  z  e. 
om ) )  -> 
( y  e.  z  <-> 
( G `  y
)  <  ( G `  z ) ) )
94, 8syl5bb 191 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  om  /\  z  e. 
om ) )  -> 
( y  _E  z  <->  ( G `  y )  <  ( G `  z ) ) )
109ralrimivva 2552 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  om  A. z  e.  om  (
y  _E  z  <->  ( G `  y )  <  ( G `  z )
) )
11 df-isom 5205 . 2  |-  ( G 
Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C ) )  <->  ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )  /\  A. y  e.  om  A. z  e.  om  (
y  _E  z  <->  ( G `  y )  <  ( G `  z )
) ) )
123, 10, 11sylanbrc 415 1  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   class class class wbr 3987    |-> cmpt 4048    _E cep 4270   omcom 4572   -1-1-onto->wf1o 5195   ` cfv 5196    Isom wiso 5197  (class class class)co 5850  freccfrec 6366   1c1 7762    + caddc 7764    < clt 7941   ZZcz 9199   ZZ>=cuz 9474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-eprel 4272  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-recs 6281  df-frec 6367  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator