ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzisod Unicode version

Theorem frec2uzisod 10437
Description:  G (see frec2uz0d 10429) is an isomorphism from natural ordinals to upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
Assertion
Ref Expression
frec2uzisod  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, C    ph, x
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem frec2uzisod
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2 frec2uz.2 . . 3  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
31, 2frec2uzf1od 10436 . 2  |-  ( ph  ->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )
)
4 epel 4310 . . . 4  |-  ( y  _E  z  <->  y  e.  z )
51adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  om  /\  z  e. 
om ) )  ->  C  e.  ZZ )
6 simprl 529 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  om  /\  z  e. 
om ) )  -> 
y  e.  om )
7 simprr 531 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  om  /\  z  e. 
om ) )  -> 
z  e.  om )
85, 2, 6, 7frec2uzlt2d 10434 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  om  /\  z  e. 
om ) )  -> 
( y  e.  z  <-> 
( G `  y
)  <  ( G `  z ) ) )
94, 8bitrid 192 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  om  /\  z  e. 
om ) )  -> 
( y  _E  z  <->  ( G `  y )  <  ( G `  z ) ) )
109ralrimivva 2572 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  om  A. z  e.  om  (
y  _E  z  <->  ( G `  y )  <  ( G `  z )
) )
11 df-isom 5244 . 2  |-  ( G 
Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C ) )  <->  ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )  /\  A. y  e.  om  A. z  e.  om  (
y  _E  z  <->  ( G `  y )  <  ( G `  z )
) ) )
123, 10, 11sylanbrc 417 1  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   class class class wbr 4018    |-> cmpt 4079    _E cep 4305   omcom 4607   -1-1-onto->wf1o 5234   ` cfv 5235    Isom wiso 5236  (class class class)co 5895  freccfrec 6414   1c1 7841    + caddc 7843    < clt 8021   ZZcz 9282   ZZ>=cuz 9557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-ltadd 7956
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-recs 6329  df-frec 6415  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-inn 8949  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator