ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzisod Unicode version

Theorem frec2uzisod 10192
Description:  G (see frec2uz0d 10184) is an isomorphism from natural ordinals to upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
Assertion
Ref Expression
frec2uzisod  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, C    ph, x
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem frec2uzisod
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2 frec2uz.2 . . 3  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
31, 2frec2uzf1od 10191 . 2  |-  ( ph  ->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )
)
4 epel 4214 . . . 4  |-  ( y  _E  z  <->  y  e.  z )
51adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  om  /\  z  e. 
om ) )  ->  C  e.  ZZ )
6 simprl 520 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  om  /\  z  e. 
om ) )  -> 
y  e.  om )
7 simprr 521 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  om  /\  z  e. 
om ) )  -> 
z  e.  om )
85, 2, 6, 7frec2uzlt2d 10189 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  om  /\  z  e. 
om ) )  -> 
( y  e.  z  <-> 
( G `  y
)  <  ( G `  z ) ) )
94, 8syl5bb 191 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  om  /\  z  e. 
om ) )  -> 
( y  _E  z  <->  ( G `  y )  <  ( G `  z ) ) )
109ralrimivva 2514 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  om  A. z  e.  om  (
y  _E  z  <->  ( G `  y )  <  ( G `  z )
) )
11 df-isom 5132 . 2  |-  ( G 
Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C ) )  <->  ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )  /\  A. y  e.  om  A. z  e.  om  (
y  _E  z  <->  ( G `  y )  <  ( G `  z )
) ) )
123, 10, 11sylanbrc 413 1  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989    _E cep 4209   omcom 4504   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123    Isom wiso 5124  (class class class)co 5774  freccfrec 6287   1c1 7633    + caddc 7635    < clt 7812   ZZcz 9066   ZZ>=cuz 9338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator