ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzisod GIF version

Theorem frec2uzisod 10210
Description: 𝐺 (see frec2uz0d 10202) is an isomorphism from natural ordinals to upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
Assertion
Ref Expression
frec2uzisod (𝜑𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzisod
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2 frec2uz.2 . . 3 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
31, 2frec2uzf1od 10209 . 2 (𝜑𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶))
4 epel 4221 . . . 4 (𝑦 E 𝑧𝑦𝑧)
51adantr 274 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → 𝐶 ∈ ℤ)
6 simprl 521 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → 𝑦 ∈ ω)
7 simprr 522 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → 𝑧 ∈ ω)
85, 2, 6, 7frec2uzlt2d 10207 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (𝑦𝑧 ↔ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧)))
94, 8syl5bb 191 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (𝑦 E 𝑧 ↔ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧)))
109ralrimivva 2517 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω (𝑦 E 𝑧 ↔ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧)))
11 df-isom 5139 . 2 (𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ𝐶)) ↔ (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω (𝑦 E 𝑧 ↔ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧))))
123, 10, 11sylanbrc 414 1 (𝜑𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1332  wcel 1481  wral 2417   class class class wbr 3936  cmpt 3996   E cep 4216  ωcom 4511  1-1-ontowf1o 5129  cfv 5130   Isom wiso 5131  (class class class)co 5781  freccfrec 6294  1c1 7644   + caddc 7646   < clt 7823  cz 9077  cuz 9349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-eprel 4218  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-isom 5139  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator