Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdgg Unicode version

Theorem frecuzrdgg 10129
 Description: Lemma for other theorems involving the the recursive definition generator on upper integers. Evaluating at a natural number gives an ordered pair whose first element is the mapping of that natural number via . (Contributed by Jim Kingdon, 23-Apr-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frecuzrdgrclt.c
frecuzrdgrclt.a
frecuzrdgrclt.t
frecuzrdgrclt.f
frecuzrdgrclt.r frec
frecuzrdgg.n
frecuzrdgg.g frec
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgg
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem frecuzrdgg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frecuzrdgg.n . 2
2 fveq2 5387 . . . . . 6
32fveq2d 5391 . . . . 5
4 fveq2 5387 . . . . 5
53, 4eqeq12d 2130 . . . 4
65imbi2d 229 . . 3
7 fveq2 5387 . . . . . 6
87fveq2d 5391 . . . . 5
9 fveq2 5387 . . . . 5
108, 9eqeq12d 2130 . . . 4
1110imbi2d 229 . . 3
12 fveq2 5387 . . . . . 6
1312fveq2d 5391 . . . . 5
14 fveq2 5387 . . . . 5
1513, 14eqeq12d 2130 . . . 4
1615imbi2d 229 . . 3
17 fveq2 5387 . . . . . 6
1817fveq2d 5391 . . . . 5
19 fveq2 5387 . . . . 5
2018, 19eqeq12d 2130 . . . 4
2120imbi2d 229 . . 3
22 frecuzrdgrclt.c . . . . 5
23 frecuzrdgrclt.a . . . . 5
24 op1stg 6014 . . . . 5
2522, 23, 24syl2anc 406 . . . 4
26 frecuzrdgrclt.r . . . . . . 7 frec
2726fveq1i 5388 . . . . . 6 frec
28 opexg 4118 . . . . . . . 8
29 frec0g 6260 . . . . . . . 8 frec
3028, 29syl 14 . . . . . . 7 frec
3122, 23, 30syl2anc 406 . . . . . 6 frec
3227, 31syl5eq 2160 . . . . 5
3332fveq2d 5391 . . . 4
34 frecuzrdgg.g . . . . 5 frec
3522, 34frec2uz0d 10112 . . . 4
3625, 33, 353eqtr4d 2158 . . 3
3722, 34frec2uzf1od 10119 . . . . . . . . . . 11
38 f1of 5333 . . . . . . . . . . 11
3937, 38syl 14 . . . . . . . . . 10
4039ad2antlr 478 . . . . . . . . 9
41 simpll 501 . . . . . . . . 9
4240, 41ffvelrnd 5522 . . . . . . . 8
43 peano2uz 9327 . . . . . . . 8
4442, 43syl 14 . . . . . . 7
45 oveq2 5748 . . . . . . . . 9
4645eleq1d 2184 . . . . . . . 8
47 oveq1 5747 . . . . . . . . . . 11
4847eleq1d 2184 . . . . . . . . . 10
4948ralbidv 2412 . . . . . . . . 9
50 frecuzrdgrclt.f . . . . . . . . . . 11
5150ralrimivva 2489 . . . . . . . . . 10
5251ad2antlr 478 . . . . . . . . 9
5349, 52, 42rspcdva 2766 . . . . . . . 8
54 frecuzrdgrclt.t . . . . . . . . . . . 12
5522, 23, 54, 50, 26frecuzrdgrclt 10128 . . . . . . . . . . 11
5655ad2antlr 478 . . . . . . . . . 10
5756, 41ffvelrnd 5522 . . . . . . . . 9
58 xp2nd 6030 . . . . . . . . 9
5957, 58syl 14 . . . . . . . 8
6046, 53, 59rspcdva 2766 . . . . . . 7
61 op1stg 6014 . . . . . . 7
6244, 60, 61syl2anc 406 . . . . . 6
63 1st2nd2 6039 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6463adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . 15
6564fveq2d 5391 . . . . . . . . . . . . . 14
66 df-ov 5743 . . . . . . . . . . . . . . . 16
67 xp1st 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6867adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6954ad3antlr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
70 xp2nd 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7170adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7269, 71sseldd 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
73 peano2uz 9327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7468, 73syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
75 oveq2 5748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7675eleq1d 2184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
77 oveq1 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7877eleq1d 2184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7978ralbidv 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8051ad3antlr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8179, 80, 68rspcdva 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8276, 81, 71rspcdva 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
83 opelxpi 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8474, 82, 83syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
85 oveq1 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8685, 77opeq12d 3681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8775opeq2d 3680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
88 eqid 2115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8986, 87, 88ovmpog 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9068, 72, 84, 89syl3anc 1199 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9166, 90syl5eqr 2162 . . . . . . . . . . . . . . 15
9291, 84eqeltrd 2192 . . . . . . . . . . . . . 14
9365, 92eqeltrd 2192 . . . . . . . . . . . . 13
9493ralrimiva 2480 . . . . . . . . . . . 12
95 uzid 9289 . . . . . . . . . . . . . . 15
9622, 95syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14
97 opelxpi 4539 . . . . . . . . . . . . . 14
9896, 23, 97syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . 13
9998ad2antlr 478 . . . . . . . . . . . 12
100 frecsuc 6270 . . . . . . . . . . . 12 frec frec
10194, 99, 41, 100syl3anc 1199 . . . . . . . . . . 11 frec frec
10226fveq1i 5388 . . . . . . . . . . 11 frec
10326fveq1i 5388 . . . . . . . . . . . 12 frec
104103fveq2i 5390 . . . . . . . . . . 11 frec
105101, 102, 1043eqtr4g 2173 . . . . . . . . . 10
106 1st2nd2 6039 . . . . . . . . . . . 12
10757, 106syl 14 . . . . . . . . . . 11
108107fveq2d 5391 . . . . . . . . . 10
109105, 108eqtrd 2148 . . . . . . . . 9
110 simpr 109 . . . . . . . . . . 11
111110opeq1d 3679 . . . . . . . . . 10
112111fveq2d 5391 . . . . . . . . 9
113109, 112eqtrd 2148 . . . . . . . 8
114 df-ov 5743 . . . . . . . . 9
11554ad2antlr 478 . . . . . . . . . . 11
116115, 59sseldd 3066 . . . . . . . . . 10
117 opelxpi 4539 . . . . . . . . . . 11
11844, 60, 117syl2anc 406 . . . . . . . . . 10
119 oveq1 5747 . . . . . . . . . . . 12
120119, 47opeq12d 3681 . . . . . . . . . . 11
12145opeq2d 3680 . . . . . . . . . . 11
122120, 121, 88ovmpog 5871 . . . . . . . . . 10
12342, 116, 118, 122syl3anc 1199 . . . . . . . . 9
124114, 123syl5eqr 2162 . . . . . . . 8
125113, 124eqtrd 2148 . . . . . . 7
126125fveq2d 5391 . . . . . 6
12722ad2antlr 478 . . . . . . 7
128127, 34, 41frec2uzsucd 10114 . . . . . 6
12962, 126, 1283eqtr4d 2158 . . . . 5
130129exp31 359 . . . 4
131130a2d 26 . . 3
1326, 11, 16, 21, 36, 131finds 4482 . 2
1331, 132mpcom 36 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1314   wcel 1463  wral 2391  cvv 2658   wss 3039  c0 3331  cop 3498   cmpt 3957   csuc 4255  com 4472   cxp 4505  wf 5087  wf1o 5090  cfv 5091  (class class class)co 5740   cmpo 5742  c1st 6002  c2nd 6003  freccfrec 6253  c1 7585   caddc 7587  cz 9005  cuz 9275 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276 This theorem is referenced by:  frecuzrdgdomlem  10130  frecuzrdgfunlem  10132  frecuzrdgsuctlem  10136
 Copyright terms: Public domain W3C validator