Theorem frec2uzsucd 10858

Description: The value of G (see frec2uz0d 10856) at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzzd.a	|- ( ph -> A e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzsucd	|- ( ph -> ( G ` suc A ) = ( ( G ` A ) + 1 ) )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzsucd

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 9689	. . . . . . 7 |- ( z e. ZZ -> ( z + 1 ) e. ZZ )
2		oveq1 6095	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( x + 1 ) = ( z + 1 ) )
3		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) = ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) )
4	2, 3	fvmptg 5784	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ZZ /\ ( z + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) = ( z + 1 ) )
5	1, 4	mpdan 425	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) = ( z + 1 ) )
6	5, 1	eqeltrd 2315	. . . . 5 |- ( z e. ZZ -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. ZZ )
7	6	rgen 2603	. . . 4 |- A. z e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. ZZ
8		frec2uz.1	. . . 4 |- ( ph -> C e. ZZ )
9		frec2uzzd.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. om )
10		frecsuc 6683	. . . 4 |- ( ( A. z e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A e. om ) -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` suc A ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A ) ) )
11	7, 8, 9, 10	mp3an2i 1383	. . 3 |- ( ph -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` suc A ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A ) ) )
12		frec2uz.2	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
13	12	fveq1i 5699	. . 3 |- ( G ` suc A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` suc A )
14	12	fveq1i 5699	. . . 4 |- ( G ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A )
15	14	fveq2i 5701	. . 3 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` ( G ` A ) ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A ) )
16	11, 13, 15	3eqtr4g 2296	. 2 |- ( ph -> ( G ` suc A ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` ( G ` A ) ) )
17	8, 12, 9	frec2uzzd 10857	. . 3 |- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )
18		oveq1 6095	. . . 4 |- ( z = ( G ` A ) -> ( z + 1 ) = ( ( G ` A ) + 1 ) )
19	2	cbvmptv 4229	. . . 4 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) = ( z e. ZZ |-> ( z + 1 ) )
20	18, 19, 1	fvmpt3 5787	. . 3 |- ( ( G ` A ) e. ZZ -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` ( G ` A ) ) = ( ( G ` A ) + 1 ) )
21	17, 20	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` ( G ` A ) ) = ( ( G ` A ) + 1 ) )
22	16, 21	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> ( G ` suc A ) = ( ( G ` A ) + 1 ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   |-> cmpt 4193   suc csuc 4512   omcom 4739   ` cfv 5380  (class class class)co 6088  freccfrec 6666   1c1 8186   + caddc 8188   ZZcz 9653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-recs 6581  df-frec 6667  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9654

This theorem is used by:  frec2uzuzd  10859  frec2uzltd  10860  frec2uzrand  10862  frec2uzrdg  10866  frecuzrdgsuc  10871  frecuzrdgg  10873  frecfzennn  10883  1tonninf  10898  omgadd  11263  ennnfonelemkh  13360  ennnfonelemhf1o  13361  ennnfonelemnn0  13370  012of  17245  2o01f  17246  isomninnlem  17302  iswomninnlem  17323  ismkvnnlem  17326