Theorem frec2uzsucd 10205

Description: The value of G (see frec2uz0d 10203) at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzzd.a	|- ( ph -> A e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzsucd	|- ( ph -> ( G ` suc A ) = ( ( G ` A ) + 1 ) )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzsucd

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 9114	. . . . . . 7 |- ( z e. ZZ -> ( z + 1 ) e. ZZ )
2		oveq1 5789	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( x + 1 ) = ( z + 1 ) )
3		eqid 2140	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) = ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) )
4	2, 3	fvmptg 5505	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ZZ /\ ( z + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) = ( z + 1 ) )
5	1, 4	mpdan 418	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) = ( z + 1 ) )
6	5, 1	eqeltrd 2217	. . . . 5 |- ( z e. ZZ -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. ZZ )
7	6	rgen 2488	. . . 4 |- A. z e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. ZZ
8		frec2uz.1	. . . 4 |- ( ph -> C e. ZZ )
9		frec2uzzd.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. om )
10		frecsuc 6312	. . . 4 |- ( ( A. z e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A e. om ) -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` suc A ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A ) ) )
11	7, 8, 9, 10	mp3an2i 1321	. . 3 |- ( ph -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` suc A ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A ) ) )
12		frec2uz.2	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
13	12	fveq1i 5430	. . 3 |- ( G ` suc A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` suc A )
14	12	fveq1i 5430	. . . 4 |- ( G ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A )
15	14	fveq2i 5432	. . 3 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` ( G ` A ) ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A ) )
16	11, 13, 15	3eqtr4g 2198	. 2 |- ( ph -> ( G ` suc A ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` ( G ` A ) ) )
17	8, 12, 9	frec2uzzd 10204	. . 3 |- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )
18		oveq1 5789	. . . 4 |- ( z = ( G ` A ) -> ( z + 1 ) = ( ( G ` A ) + 1 ) )
19	2	cbvmptv 4032	. . . 4 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) = ( z e. ZZ |-> ( z + 1 ) )
20	18, 19, 1	fvmpt3 5508	. . 3 |- ( ( G ` A ) e. ZZ -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` ( G ` A ) ) = ( ( G ` A ) + 1 ) )
21	17, 20	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` ( G ` A ) ) = ( ( G ` A ) + 1 ) )
22	16, 21	eqtrd 2173	1 |- ( ph -> ( G ` suc A ) = ( ( G ` A ) + 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   |-> cmpt 3997   suc csuc 4295   omcom 4512   ` cfv 5131  (class class class)co 5782  freccfrec 6295   1c1 7645   + caddc 7647   ZZcz 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-recs 6210  df-frec 6296  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079

This theorem is referenced by:  frec2uzuzd  10206  frec2uzltd  10207  frec2uzrand  10209  frec2uzrdg  10213  frecuzrdgsuc  10218  frecuzrdgg  10220  frecfzennn  10230  1tonninf  10244  omgadd  10580  ennnfonelemkh  11961  ennnfonelemhf1o  11962  ennnfonelemnn0  11971  012of  13363  2o01f  13364  isomninnlem  13400  iswomninnlem  13417  ismkvnnlem  13419