Theorem frec2uzsucd 10662

Description: The value of G (see frec2uz0d 10660) at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzzd.a	|- ( ph -> A e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzsucd	|- ( ph -> ( G ` suc A ) = ( ( G ` A ) + 1 ) )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzsucd

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 9514	. . . . . . 7 |- ( z e. ZZ -> ( z + 1 ) e. ZZ )
2		oveq1 6024	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( x + 1 ) = ( z + 1 ) )
3		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) = ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) )
4	2, 3	fvmptg 5722	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ZZ /\ ( z + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) = ( z + 1 ) )
5	1, 4	mpdan 421	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) = ( z + 1 ) )
6	5, 1	eqeltrd 2308	. . . . 5 |- ( z e. ZZ -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. ZZ )
7	6	rgen 2585	. . . 4 |- A. z e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. ZZ
8		frec2uz.1	. . . 4 |- ( ph -> C e. ZZ )
9		frec2uzzd.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. om )
10		frecsuc 6572	. . . 4 |- ( ( A. z e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A e. om ) -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` suc A ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A ) ) )
11	7, 8, 9, 10	mp3an2i 1378	. . 3 |- ( ph -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` suc A ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A ) ) )
12		frec2uz.2	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
13	12	fveq1i 5640	. . 3 |- ( G ` suc A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` suc A )
14	12	fveq1i 5640	. . . 4 |- ( G ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A )
15	14	fveq2i 5642	. . 3 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` ( G ` A ) ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A ) )
16	11, 13, 15	3eqtr4g 2289	. 2 |- ( ph -> ( G ` suc A ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` ( G ` A ) ) )
17	8, 12, 9	frec2uzzd 10661	. . 3 |- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )
18		oveq1 6024	. . . 4 |- ( z = ( G ` A ) -> ( z + 1 ) = ( ( G ` A ) + 1 ) )
19	2	cbvmptv 4185	. . . 4 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) = ( z e. ZZ |-> ( z + 1 ) )
20	18, 19, 1	fvmpt3 5725	. . 3 |- ( ( G ` A ) e. ZZ -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` ( G ` A ) ) = ( ( G ` A ) + 1 ) )
21	17, 20	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` ( G ` A ) ) = ( ( G ` A ) + 1 ) )
22	16, 21	eqtrd 2264	1 |- ( ph -> ( G ` suc A ) = ( ( G ` A ) + 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   |-> cmpt 4150   suc csuc 4462   omcom 4688   ` cfv 5326  (class class class)co 6017  freccfrec 6555   1c1 8032   + caddc 8034   ZZcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-recs 6470  df-frec 6556  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479

This theorem is referenced by:  frec2uzuzd  10663  frec2uzltd  10664  frec2uzrand  10666  frec2uzrdg  10670  frecuzrdgsuc  10675  frecuzrdgg  10677  frecfzennn  10687  1tonninf  10702  omgadd  11064  ennnfonelemkh  13032  ennnfonelemhf1o  13033  ennnfonelemnn0  13042  012of  16592  2o01f  16593  isomninnlem  16634  iswomninnlem  16653  ismkvnnlem  16656