ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzsucd Unicode version

Theorem frec2uzsucd 9796
Description: The value of  G (see frec2uz0d 9794) at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
frec2uzzd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
Assertion
Ref Expression
frec2uzsucd  |-  ( ph  ->  ( G `  suc  A )  =  ( ( G `  A )  +  1 ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    G( x)

Proof of Theorem frec2uzsucd
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2z 8776 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
z  +  1 )  e.  ZZ )
2 oveq1 5651 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )
3 eqid 2088 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) )  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) )
42, 3fvmptg 5374 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( z  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `
 z )  =  ( z  +  1 ) )
51, 4mpdan 412 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  z
)  =  ( z  +  1 ) )
65, 1eqeltrd 2164 . . . . 5  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  z
)  e.  ZZ )
76rgen 2428 . . . 4  |-  A. z  e.  ZZ  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `
 z )  e.  ZZ
8 frec2uz.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
9 frec2uzzd.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
10 frecsuc 6164 . . . 4  |-  ( ( A. z  e.  ZZ  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) `  z )  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  e.  om )  ->  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `  suc  A )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C ) `  A
) ) )
117, 8, 9, 10mp3an2i 1278 . . 3  |-  ( ph  ->  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `  suc  A )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C ) `  A
) ) )
12 frec2uz.2 . . . 4  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
1312fveq1i 5300 . . 3  |-  ( G `
 suc  A )  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `  suc  A )
1412fveq1i 5300 . . . 4  |-  ( G `
 A )  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `  A )
1514fveq2i 5302 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  ( G `
 A ) )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `
 (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `
 A ) )
1611, 13, 153eqtr4g 2145 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  suc  A )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  ( G `
 A ) ) )
178, 12, 9frec2uzzd 9795 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ZZ )
18 oveq1 5651 . . . 4  |-  ( z  =  ( G `  A )  ->  (
z  +  1 )  =  ( ( G `
 A )  +  1 ) )
192cbvmptv 3932 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) )  =  ( z  e.  ZZ  |->  ( z  +  1 ) )
2018, 19, 1fvmpt3 5377 . . 3  |-  ( ( G `  A )  e.  ZZ  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  ( G `  A )
)  =  ( ( G `  A )  +  1 ) )
2117, 20syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) `  ( G `  A ) )  =  ( ( G `  A )  +  1 ) )
2216, 21eqtrd 2120 1  |-  ( ph  ->  ( G `  suc  A )  =  ( ( G `  A )  +  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359    |-> cmpt 3897   suc csuc 4190   omcom 4403   ` cfv 5010  (class class class)co 5644  freccfrec 6147   1c1 7341    + caddc 7343   ZZcz 8740
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-addcom 7435  ax-addass 7437  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-cnre 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-iord 4191  df-on 4193  df-ilim 4194  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-recs 6062  df-frec 6148  df-sub 7645  df-neg 7646  df-inn 8413  df-n0 8664  df-z 8741
This theorem is referenced by:  frec2uzuzd  9797  frec2uzltd  9798  frec2uzrand  9800  frec2uzrdg  9804  frecuzrdgsuc  9809  frecuzrdgg  9811  frecfzennn  9821  1tonninf  9834  omgadd  10198
  Copyright terms: Public domain W3C validator