Theorem frec2uzsucd 10568

Description: The value of G (see frec2uz0d 10566) at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzzd.a	|- ( ph -> A e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzsucd	|- ( ph -> ( G ` suc A ) = ( ( G ` A ) + 1 ) )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzsucd

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 9428	. . . . . . 7 |- ( z e. ZZ -> ( z + 1 ) e. ZZ )
2		oveq1 5964	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( x + 1 ) = ( z + 1 ) )
3		eqid 2206	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) = ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) )
4	2, 3	fvmptg 5668	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ZZ /\ ( z + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) = ( z + 1 ) )
5	1, 4	mpdan 421	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) = ( z + 1 ) )
6	5, 1	eqeltrd 2283	. . . . 5 |- ( z e. ZZ -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. ZZ )
7	6	rgen 2560	. . . 4 |- A. z e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. ZZ
8		frec2uz.1	. . . 4 |- ( ph -> C e. ZZ )
9		frec2uzzd.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. om )
10		frecsuc 6506	. . . 4 |- ( ( A. z e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A e. om ) -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` suc A ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A ) ) )
11	7, 8, 9, 10	mp3an2i 1355	. . 3 |- ( ph -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` suc A ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A ) ) )
12		frec2uz.2	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
13	12	fveq1i 5590	. . 3 |- ( G ` suc A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` suc A )
14	12	fveq1i 5590	. . . 4 |- ( G ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A )
15	14	fveq2i 5592	. . 3 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` ( G ` A ) ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` A ) )
16	11, 13, 15	3eqtr4g 2264	. 2 |- ( ph -> ( G ` suc A ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` ( G ` A ) ) )
17	8, 12, 9	frec2uzzd 10567	. . 3 |- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )
18		oveq1 5964	. . . 4 |- ( z = ( G ` A ) -> ( z + 1 ) = ( ( G ` A ) + 1 ) )
19	2	cbvmptv 4148	. . . 4 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) = ( z e. ZZ |-> ( z + 1 ) )
20	18, 19, 1	fvmpt3 5671	. . 3 |- ( ( G ` A ) e. ZZ -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` ( G ` A ) ) = ( ( G ` A ) + 1 ) )
21	17, 20	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` ( G ` A ) ) = ( ( G ` A ) + 1 ) )
22	16, 21	eqtrd 2239	1 |- ( ph -> ( G ` suc A ) = ( ( G ` A ) + 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   |-> cmpt 4113   suc csuc 4420   omcom 4646   ` cfv 5280  (class class class)co 5957  freccfrec 6489   1c1 7946   + caddc 7948   ZZcz 9392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-recs 6404  df-frec 6490  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393

This theorem is referenced by:  frec2uzuzd  10569  frec2uzltd  10570  frec2uzrand  10572  frec2uzrdg  10576  frecuzrdgsuc  10581  frecuzrdgg  10583  frecfzennn  10593  1tonninf  10608  omgadd  10969  ennnfonelemkh  12858  ennnfonelemhf1o  12859  ennnfonelemnn0  12868  012of  16069  2o01f  16070  isomninnlem  16110  iswomninnlem  16129  ismkvnnlem  16132