ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzsucd Unicode version

Theorem frec2uzsucd 10114
Description: The value of  G (see frec2uz0d 10112) at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
frec2uzzd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
Assertion
Ref Expression
frec2uzsucd  |-  ( ph  ->  ( G `  suc  A )  =  ( ( G `  A )  +  1 ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    G( x)

Proof of Theorem frec2uzsucd
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2z 9041 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
z  +  1 )  e.  ZZ )
2 oveq1 5747 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )
3 eqid 2115 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) )  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) )
42, 3fvmptg 5463 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( z  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `
 z )  =  ( z  +  1 ) )
51, 4mpdan 415 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  z
)  =  ( z  +  1 ) )
65, 1eqeltrd 2192 . . . . 5  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  z
)  e.  ZZ )
76rgen 2460 . . . 4  |-  A. z  e.  ZZ  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `
 z )  e.  ZZ
8 frec2uz.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
9 frec2uzzd.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
10 frecsuc 6270 . . . 4  |-  ( ( A. z  e.  ZZ  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) `  z )  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  e.  om )  ->  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `  suc  A )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C ) `  A
) ) )
117, 8, 9, 10mp3an2i 1303 . . 3  |-  ( ph  ->  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `  suc  A )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C ) `  A
) ) )
12 frec2uz.2 . . . 4  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
1312fveq1i 5388 . . 3  |-  ( G `
 suc  A )  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `  suc  A )
1412fveq1i 5388 . . . 4  |-  ( G `
 A )  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `  A )
1514fveq2i 5390 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  ( G `
 A ) )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `
 (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `
 A ) )
1611, 13, 153eqtr4g 2173 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  suc  A )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  ( G `
 A ) ) )
178, 12, 9frec2uzzd 10113 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ZZ )
18 oveq1 5747 . . . 4  |-  ( z  =  ( G `  A )  ->  (
z  +  1 )  =  ( ( G `
 A )  +  1 ) )
192cbvmptv 3992 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) )  =  ( z  e.  ZZ  |->  ( z  +  1 ) )
2018, 19, 1fvmpt3 5466 . . 3  |-  ( ( G `  A )  e.  ZZ  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  ( G `  A )
)  =  ( ( G `  A )  +  1 ) )
2117, 20syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) `  ( G `  A ) )  =  ( ( G `  A )  +  1 ) )
2216, 21eqtrd 2148 1  |-  ( ph  ->  ( G `  suc  A )  =  ( ( G `  A )  +  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391    |-> cmpt 3957   suc csuc 4255   omcom 4472   ` cfv 5091  (class class class)co 5740  freccfrec 6253   1c1 7585    + caddc 7587   ZZcz 9005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-recs 6168  df-frec 6254  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006
This theorem is referenced by:  frec2uzuzd  10115  frec2uzltd  10116  frec2uzrand  10118  frec2uzrdg  10122  frecuzrdgsuc  10127  frecuzrdgg  10129  frecfzennn  10139  1tonninf  10153  omgadd  10488  ennnfonelemkh  11820  ennnfonelemhf1o  11821  ennnfonelemnn0  11830  isomninnlem  13048
  Copyright terms: Public domain W3C validator