ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fz01en Unicode version

Theorem fz01en 9845
Description: 0-based and 1-based finite sets of sequential integers are equinumerous. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)
Assertion
Ref Expression
fz01en  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( N  - 
1 ) )  ~~  ( 1 ... N
) )

Proof of Theorem fz01en
StepHypRef Expression
1 peano2zm 9104 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
2 0z 9077 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
3 1z 9092 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
4 fzen 9835 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ~~  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( N  -  1 )  +  1 ) ) )
52, 3, 4mp3an13 1306 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( N  - 
1 ) )  ~~  ( ( 0  +  1 ) ... (
( N  -  1 )  +  1 ) ) )
61, 5syl 14 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( N  - 
1 ) )  ~~  ( ( 0  +  1 ) ... (
( N  -  1 )  +  1 ) ) )
7 0p1e1 8846 . . . 4  |-  ( 0  +  1 )  =  1
87a1i 9 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  +  1 )  =  1 )
9 zcn 9071 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
10 ax-1cn 7725 . . . 4  |-  1  e.  CC
11 npcan 7983 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
129, 10, 11sylancl 409 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
138, 12oveq12d 5792 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 1 ... N ) )
146, 13breqtrd 3954 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( N  - 
1 ) )  ~~  ( 1 ... N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774    ~~ cen 6632   CCcc 7630   0cc0 7632   1c1 7633    + caddc 7635    - cmin 7945   ZZcz 9066   ...cfz 9802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-en 6635  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-fz 9803
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator