Theorem fz01en 10009

Description: 0-based and 1-based finite sets of sequential integers are equinumerous. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fz01en	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))

Proof of Theorem fz01en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 9250	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2		0z 9223	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		1z 9238	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		fzen 9999	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0...(𝑁 − 1)) ≈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)))
5	2, 3, 4	mp3an13 1323	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (0...(𝑁 − 1)) ≈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)))
6	1, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...(𝑁 − 1)) ≈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)))
7		0p1e1 8992	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 + 1) = 1)
9		zcn 9217	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
10		ax-1cn 7867	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		npcan 8128	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
12	9, 10, 11	sylancl 411	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
13	8, 12	oveq12d 5871	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
14	6, 13	breqtrd 4015	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   ≈ cen 6716  ℂcc 7772  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   − cmin 8090  ℤcz 9212  ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-en 6719  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-fz 9966

This theorem is referenced by: (None)