Theorem fz01en 10387

Description: 0-based and 1-based finite sets of sequential integers are equinumerous. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fz01en	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))

Proof of Theorem fz01en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 9615	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2		0z 9588	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		1z 9603	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		fzen 10377	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0...(𝑁 − 1)) ≈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)))
5	2, 3, 4	mp3an13 1365	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (0...(𝑁 − 1)) ≈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)))
6	1, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...(𝑁 − 1)) ≈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)))
7		0p1e1 9351	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 + 1) = 1)
9		zcn 9582	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
10		ax-1cn 8220	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		npcan 8482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
12	9, 10, 11	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
13	8, 12	oveq12d 6068	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
14	6, 13	breqtrd 4135	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   ≈ cen 6973  ℂcc 8125  0cc0 8127  1c1 8128   + caddc 8130   − cmin 8444  ℤcz 9577  ...cfz 10342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-en 6976  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-fz 10343

This theorem is referenced by:  4sqlem11  13099