ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzneuz GIF version

Theorem fzneuz 9893
Description: No finite set of sequential integers equals an upper set of integers. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzneuz ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ𝐾))

Proof of Theorem fzneuz
StepHypRef Expression
1 peano2uz 9390 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝐾))
21adantl 275 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝐾))
3 eluzelz 9347 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 zre 9070 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
54ltp1d 8700 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
6 peano2z 9102 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7 zltnle 9112 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
86, 7mpdan 417 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
95, 8mpbid 146 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
103, 9syl 14 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
11 elfzle2 9820 . . . . . 6 ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
1210, 11nsyl 617 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
1312ad2antrr 479 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
14 nelneq2 2241 . . . 4 (((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝐾) ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ (ℤ𝐾) = (𝑀...𝑁))
152, 13, 14syl2anc 408 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → ¬ (ℤ𝐾) = (𝑀...𝑁))
16 eqcom 2141 . . 3 ((ℤ𝐾) = (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀...𝑁) = (ℤ𝐾))
1715, 16sylnib 665 . 2 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ𝐾))
18 eluzfz2 9824 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
1918ad2antrr 479 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
20 nelneq2 2241 . . 3 ((𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ𝐾))
2119, 20sylancom 416 . 2 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ𝐾))
22 simpr 109 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
233adantr 274 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
24 eluzdc 9416 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
2522, 23, 24syl2anc 408 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
26 df-dc 820 . . 3 (DECID 𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∨ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
2725, 26sylib 121 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∨ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
2817, 21, 27mpjaodan 787 1 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  1c1 7633   + caddc 7635   < clt 7812  cle 7813  cz 9066  cuz 9338  ...cfz 9802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-fz 9803
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator