Theorem fzneuz 10223

Description: No finite set of sequential integers equals an upper set of integers. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzneuz	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))

Proof of Theorem fzneuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2uz 9704	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		eluzelz 9657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		zre 9376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
5	4	ltp1d 9003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
6		peano2z 9408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7		zltnle 9418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
8	6, 7	mpdan 421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
9	5, 8	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
10	3, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
11		elfzle2 10150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
12	10, 11	nsyl 629	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
13	12	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
14		nelneq2 2307	. . . 4 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ (ℤ≥‘𝐾) = (𝑀...𝑁))
15	2, 13, 14	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (ℤ≥‘𝐾) = (𝑀...𝑁))
16		eqcom 2207	. . 3 ⊢ ((ℤ≥‘𝐾) = (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))
17	15, 16	sylnib 678	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))
18		eluzfz2 10154	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
19	18	ad2antrr 488	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
20		nelneq2 2307	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))
21	19, 20	sylancom 420	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))
22		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
23	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
24		eluzdc 9731	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
25	22, 23, 24	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
26		df-dc 837	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∨ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
27	25, 26	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∨ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
28	17, 21, 27	mpjaodan 800	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   class class class wbr 4044  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  1c1 7926   + caddc 7928   < clt 8107   ≤ cle 8108  ℤcz 9372  ℤ_≥cuz 9648  ...cfz 10130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131

This theorem is referenced by: (None)