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Theorem fz0fzelfz0 10127
Description: If a member of a finite set of sequential integers with a lower bound being a member of a finite set of sequential nonnegative integers with the same upper bound, this member is also a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
fz0fzelfz0 |- ( ( N e. ( 0 ... R ) /\ M e. ( N ... R ) ) -> M e. ( 0 ... R ) )
Proof of Theorem fz0fzelfz0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 10112 . . . 4 |- ( N e. ( 0 ... R ) <-> ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) )
2 elfz2 10015 . . . . . 6 |- ( M e. ( N ... R ) <-> ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) )
3 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> M e. ZZ )
4 0red 7958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> 0 e. RR )
5 nn0re 9185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
65adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> N e. RR )
7 zre 9257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
87adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> M e. RR )
94, 6, 83jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> ( 0 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) )
109adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> ( 0 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) )
11 nn0ge0 9201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
1211adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> 0 <_ N )
1312anim1i 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> ( 0 <_ N /\ N <_ M ) )
14 letr 8040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( 0 <_ N /\ N <_ M ) -> 0 <_ M ) )
1510, 13, 14sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> 0 <_ M )
16 elnn0z 9266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) )
173, 15, 16sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> M e. NN0 )
1817exp31 364 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> ( M e. ZZ -> ( N <_ M -> M e. NN0 ) ) )
1918com23 78 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ M -> ( M e. ZZ -> M e. NN0 ) ) )
20193ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> ( N <_ M -> ( M e. ZZ -> M e. NN0 ) ) )
2120com13 80 . . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( N <_ M -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> M e. NN0 ) ) )
2221adantrd 279 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( ( N <_ M /\ M <_ R ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> M e. NN0 ) ) )
23223ad2ant3 1020 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( N <_ M /\ M <_ R ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> M e. NN0 ) ) )
2423imp 124 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> M e. NN0 ) )
2524imp 124 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) /\ ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) ) -> M e. NN0 )
26 simpr2 1004 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) /\ ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) ) -> R e. NN0 )
27 simplrr 536 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) /\ ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) ) -> M <_ R )
2825, 26, 273jca 1177 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) /\ ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) )
2928ex 115 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) ) )
302, 29sylbi 121 . . . . 5 |- ( M e. ( N ... R ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) ) )
3130com12 30 . . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> ( M e. ( N ... R ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) ) )
321, 31sylbi 121 . . 3 |- ( N e. ( 0 ... R ) -> ( M e. ( N ... R ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) ) )
3332imp 124 . 2 |- ( ( N e. ( 0 ... R ) /\ M e. ( N ... R ) ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) )
34 elfz2nn0 10112 . 2 |- ( M e. ( 0 ... R ) <-> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) )
3533, 34sylibr 134 1 |- ( ( N e. ( 0 ... R ) /\ M e. ( N ... R ) ) -> M e. ( 0 ... R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   e. wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875   RRcr 7810   0cc0 7811   <_ cle 7993   NN0cn0 9176   ZZcz 9253   ...cfz 10008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-fz 10009
This theorem is referenced by:  fz0fzdiffz0  10130
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