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Theorem fz0fzelfz0 10515
Description: If a member of a finite set of sequential integers with a lower bound being a member of a finite set of sequential nonnegative integers with the same upper bound, this member is also a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
fz0fzelfz0 |- ( ( N e. ( 0 ... R ) /\ M e. ( N ... R ) ) -> M e. ( 0 ... R ) )
Proof of Theorem fz0fzelfz0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 10500 . . . 4 |- ( N e. ( 0 ... R ) <-> ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) )
2 elfz2 10400 . . . . . 6 |- ( M e. ( N ... R ) <-> ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) )
3 simplr 533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> M e. ZZ )
4 0red 8320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> 0 e. RR )
5 nn0re 9554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
65adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> N e. RR )
7 zre 9630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
87adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> M e. RR )
94, 6, 83jca 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> ( 0 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) )
109adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> ( 0 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) )
11 nn0ge0 9570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
1211adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> 0 <_ N )
1312anim1i 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> ( 0 <_ N /\ N <_ M ) )
14 letr 8401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( 0 <_ N /\ N <_ M ) -> 0 <_ M ) )
1510, 13, 14sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> 0 <_ M )
16 elnn0z 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) )
173, 15, 16sylanbrc 421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> M e. NN0 )
1817exp31 364 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> ( M e. ZZ -> ( N <_ M -> M e. NN0 ) ) )
1918com23 78 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ M -> ( M e. ZZ -> M e. NN0 ) ) )
20193ad2ant1 1049 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> ( N <_ M -> ( M e. ZZ -> M e. NN0 ) ) )
2120com13 80 . . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( N <_ M -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> M e. NN0 ) ) )
2221adantrd 279 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( ( N <_ M /\ M <_ R ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> M e. NN0 ) ) )
23223ad2ant3 1051 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( N <_ M /\ M <_ R ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> M e. NN0 ) ) )
2423imp 124 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> M e. NN0 ) )
2524imp 124 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) /\ ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) ) -> M e. NN0 )
26 simpr2 1035 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) /\ ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) ) -> R e. NN0 )
27 simplrr 542 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) /\ ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) ) -> M <_ R )
2825, 26, 273jca 1208 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) /\ ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) )
2928ex 115 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) ) )
302, 29sylbi 121 . . . . 5 |- ( M e. ( N ... R ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) ) )
3130com12 30 . . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> ( M e. ( N ... R ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) ) )
321, 31sylbi 121 . . 3 |- ( N e. ( 0 ... R ) -> ( M e. ( N ... R ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) ) )
3332imp 124 . 2 |- ( ( N e. ( 0 ... R ) /\ M e. ( N ... R ) ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) )
34 elfz2nn0 10500 . 2 |- ( M e. ( 0 ... R ) <-> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) )
3533, 34sylibr 134 1 |- ( ( N e. ( 0 ... R ) /\ M e. ( N ... R ) ) -> M e. ( 0 ... R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4128  (class class class)co 6078   RRcr 8171   0cc0 8172   <_ cle 8354   NN0cn0 9545   ZZcz 9626   ...cfz 10393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-ltadd 8288
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904  df-fz 10394
This theorem is referenced by:  fz0fzdiffz0  10518
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