ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fz0fzelfz0 Unicode version

Theorem fz0fzelfz0 9859
Description: If a member of a finite set of sequential integers with a lower bound being a member of a finite set of sequential nonnegative integers with the same upper bound, this member is also a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
fz0fzelfz0  |-  ( ( N  e.  ( 0 ... R )  /\  M  e.  ( N ... R ) )  ->  M  e.  ( 0 ... R ) )

Proof of Theorem fz0fzelfz0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 9847 . . . 4  |-  ( N  e.  ( 0 ... R )  <->  ( N  e.  NN0  /\  R  e. 
NN0  /\  N  <_  R ) )
2 elfz2 9752 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( N ... R )  <->  ( ( N  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( N  <_  M  /\  M  <_  R ) ) )
3 simplr 504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  <_  M
)  ->  M  e.  ZZ )
4 0red 7735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
5 nn0re 8944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
65adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
7 zre 9016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
87adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
94, 6, 83jca 1146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  M  e.  RR )
)
109adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  <_  M
)  ->  ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
11 nn0ge0 8960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
1211adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ )  ->  0  <_  N )
1312anim1i 338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  <_  M
)  ->  ( 0  <_  N  /\  N  <_  M ) )
14 letr 7815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  N  /\  N  <_  M )  ->  0  <_  M
) )
1510, 13, 14sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  <_  M
)  ->  0  <_  M )
16 elnn0z 9025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M ) )
173, 15, 16sylanbrc 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  <_  M
)  ->  M  e.  NN0 )
1817exp31 361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  <_  M  ->  M  e.  NN0 ) ) )
1918com23 78 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  M  ->  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  NN0 ) ) )
20193ad2ant1 987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  N  <_  R )  ->  ( N  <_  M  ->  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  NN0 ) ) )
2120com13 80 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  <_  M  ->  (
( N  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  N  <_  R )  ->  M  e.  NN0 ) ) )
2221adantrd 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( N  <_  M  /\  M  <_  R )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  R  e. 
NN0  /\  N  <_  R )  ->  M  e.  NN0 ) ) )
23223ad2ant3 989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( N  <_  M  /\  M  <_  R )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  R  e. 
NN0  /\  N  <_  R )  ->  M  e.  NN0 ) ) )
2423imp 123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( N  <_  M  /\  M  <_  R ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  N  <_  R )  ->  M  e.  NN0 ) )
2524imp 123 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( N  <_  M  /\  M  <_  R ) )  /\  ( N  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  N  <_  R ) )  ->  M  e.  NN0 )
26 simpr2 973 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( N  <_  M  /\  M  <_  R ) )  /\  ( N  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  N  <_  R ) )  ->  R  e.  NN0 )
27 simplrr 510 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( N  <_  M  /\  M  <_  R ) )  /\  ( N  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  N  <_  R ) )  ->  M  <_  R
)
2825, 26, 273jca 1146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( N  <_  M  /\  M  <_  R ) )  /\  ( N  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  N  <_  R ) )  ->  ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  NN0 
/\  M  <_  R
) )
2928ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( N  <_  M  /\  M  <_  R ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  N  <_  R )  ->  ( M  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  M  <_  R ) ) )
302, 29sylbi 120 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( N ... R )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  N  <_  R )  -> 
( M  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  M  <_  R ) ) )
3130com12 30 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  N  <_  R )  ->  ( M  e.  ( N ... R )  ->  ( M  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  M  <_  R ) ) )
321, 31sylbi 120 . . 3  |-  ( N  e.  ( 0 ... R )  ->  ( M  e.  ( N ... R )  ->  ( M  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  M  <_  R ) ) )
3332imp 123 . 2  |-  ( ( N  e.  ( 0 ... R )  /\  M  e.  ( N ... R ) )  -> 
( M  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  M  <_  R ) )
34 elfz2nn0 9847 . 2  |-  ( M  e.  ( 0 ... R )  <->  ( M  e.  NN0  /\  R  e. 
NN0  /\  M  <_  R ) )
3533, 34sylibr 133 1  |-  ( ( N  e.  ( 0 ... R )  /\  M  e.  ( N ... R ) )  ->  M  e.  ( 0 ... R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 947    e. wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   RRcr 7587   0cc0 7588    <_ cle 7769   NN0cn0 8935   ZZcz 9012   ...cfz 9745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8685  df-n0 8936  df-z 9013  df-uz 9283  df-fz 9746
This theorem is referenced by:  fz0fzdiffz0  9862
  Copyright terms: Public domain W3C validator