Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fz0fzelfz0 Unicode version

Theorem fz0fzelfz0 9687
 Description: If a member of a finite set of sequential integers with a lower bound being a member of a finite set of sequential nonnegative integers with the same upper bound, this member is also a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
fz0fzelfz0

Proof of Theorem fz0fzelfz0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 9675 . . . 4
2 elfz2 9580 . . . . . 6
3 simplr 498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 0red 7586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 nn0re 8780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
65adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7 zre 8852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
87adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
94, 6, 83jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
109adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11 nn0ge0 8796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1211adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1312anim1i 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14 letr 7665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1510, 13, 14sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16 elnn0z 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
173, 15, 16sylanbrc 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1817exp31 357 . . . . . . . . . . . . . . 15
1918com23 78 . . . . . . . . . . . . . 14
20193ad2ant1 967 . . . . . . . . . . . . 13
2120com13 80 . . . . . . . . . . . 12
2221adantrd 274 . . . . . . . . . . 11
23223ad2ant3 969 . . . . . . . . . 10
2423imp 123 . . . . . . . . 9
2524imp 123 . . . . . . . 8
26 simpr2 953 . . . . . . . 8
27 simplrr 504 . . . . . . . 8
2825, 26, 273jca 1126 . . . . . . 7
2928ex 114 . . . . . 6
302, 29sylbi 120 . . . . 5
3130com12 30 . . . 4
321, 31sylbi 120 . . 3
3332imp 123 . 2
34 elfz2nn0 9675 . 2
3533, 34sylibr 133 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   w3a 927   wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690  cr 7446  cc0 7447   cle 7620  cn0 8771  cz 8848  cfz 9573 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574 This theorem is referenced by:  fz0fzdiffz0  9690
 Copyright terms: Public domain W3C validator