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Theorem fz0fzelfz0 10251
Description: If a member of a finite set of sequential integers with a lower bound being a member of a finite set of sequential nonnegative integers with the same upper bound, this member is also a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
fz0fzelfz0 |- ( ( N e. ( 0 ... R ) /\ M e. ( N ... R ) ) -> M e. ( 0 ... R ) )
Proof of Theorem fz0fzelfz0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 10236 . . . 4 |- ( N e. ( 0 ... R ) <-> ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) )
2 elfz2 10139 . . . . . 6 |- ( M e. ( N ... R ) <-> ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) )
3 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> M e. ZZ )
4 0red 8075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> 0 e. RR )
5 nn0re 9306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
65adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> N e. RR )
7 zre 9378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
87adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> M e. RR )
94, 6, 83jca 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> ( 0 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) )
109adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> ( 0 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) )
11 nn0ge0 9322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
1211adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> 0 <_ N )
1312anim1i 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> ( 0 <_ N /\ N <_ M ) )
14 letr 8157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( 0 <_ N /\ N <_ M ) -> 0 <_ M ) )
1510, 13, 14sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> 0 <_ M )
16 elnn0z 9387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) )
173, 15, 16sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> M e. NN0 )
1817exp31 364 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> ( M e. ZZ -> ( N <_ M -> M e. NN0 ) ) )
1918com23 78 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ M -> ( M e. ZZ -> M e. NN0 ) ) )
20193ad2ant1 1021 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> ( N <_ M -> ( M e. ZZ -> M e. NN0 ) ) )
2120com13 80 . . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( N <_ M -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> M e. NN0 ) ) )
2221adantrd 279 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( ( N <_ M /\ M <_ R ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> M e. NN0 ) ) )
23223ad2ant3 1023 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( N <_ M /\ M <_ R ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> M e. NN0 ) ) )
2423imp 124 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> M e. NN0 ) )
2524imp 124 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) /\ ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) ) -> M e. NN0 )
26 simpr2 1007 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) /\ ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) ) -> R e. NN0 )
27 simplrr 536 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) /\ ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) ) -> M <_ R )
2825, 26, 273jca 1180 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) /\ ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) )
2928ex 115 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) ) )
302, 29sylbi 121 . . . . 5 |- ( M e. ( N ... R ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) ) )
3130com12 30 . . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> ( M e. ( N ... R ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) ) )
321, 31sylbi 121 . . 3 |- ( N e. ( 0 ... R ) -> ( M e. ( N ... R ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) ) )
3332imp 124 . 2 |- ( ( N e. ( 0 ... R ) /\ M e. ( N ... R ) ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) )
34 elfz2nn0 10236 . 2 |- ( M e. ( 0 ... R ) <-> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) )
3533, 34sylibr 134 1 |- ( ( N e. ( 0 ... R ) /\ M e. ( N ... R ) ) -> M e. ( 0 ... R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   e. wcel 2176   class class class wbr 4045  (class class class)co 5946   RRcr 7926   0cc0 7927   <_ cle 8110   NN0cn0 9297   ZZcz 9374   ...cfz 10132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-fz 10133
This theorem is referenced by:  fz0fzdiffz0  10254
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