ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fznn0sub2 GIF version

Theorem fznn0sub2 9932
Description: Subtraction closure for a member of a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fznn0sub2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem fznn0sub2
StepHypRef Expression
1 elfzle1 9834 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝐾)
2 elfzel2 9831 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 elfzelz 9833 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
4 zre 9078 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
5 zre 9078 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
6 subge02 8260 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
74, 5, 6syl2an 287 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
82, 3, 7syl2anc 409 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
91, 8mpbid 146 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ≤ 𝑁)
10 fznn0sub 9864 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
11 nn0uz 9380 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
1210, 11eleqtrdi 2233 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ (ℤ‘0))
13 elfz5 9825 . . 3 (((𝑁𝐾) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
1412, 2, 13syl2anc 409 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
159, 14mpbird 166 1 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104  wcel 1481   class class class wbr 3933  cfv 5127  (class class class)co 5778  cr 7639  0cc0 7640  cle 7821  cmin 7953  0cn0 8997  cz 9074  cuz 9346  ...cfz 9817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-1re 7734  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-addcom 7740  ax-addass 7742  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0lt1 7746  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-cnre 7751  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-ltwlin 7753  ax-pre-lttrn 7754  ax-pre-ltadd 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826  df-sub 7955  df-neg 7956  df-inn 8741  df-n0 8998  df-z 9075  df-uz 9347  df-fz 9818
This theorem is referenced by:  uzsubfz0  9933  bccmpl  10528  fisum0diag2  11244  mertenslemi1  11332
  Copyright terms: Public domain W3C validator