Theorem fzind2 10589

Description: Induction on the integers from M to N inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. Version of fzind 9696 using integer range definitions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzind2.1	|- ( x = M -> ( ph <-> ps ) )
fzind2.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
fzind2.3	|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
fzind2.4	|- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
fzind2.5	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ps )
fzind2.6	|- ( y e. ( M..^ N ) -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
fzind2	|- ( K e. ( M ... N ) -> ta )

Distinct variable groups:   x, K   x, M, y   x, N, y   ch, x   ph, y   ps, x   ta, x   th, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   K( y)

Proof of Theorem fzind2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 10352	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
2		anass 401	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) )
3		df-3an 1007	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) )
4	3	anbi1i 458	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
5		3anass 1009	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
6	5	anbi2i 457	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) )
7	2, 4, 6	3bitr4i 212	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) )
8	1, 7	bitri 184	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) )
9		fzind2.1	. . 3 |- ( x = M -> ( ph <-> ps ) )
10		fzind2.2	. . 3 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
11		fzind2.3	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
12		fzind2.4	. . 3 |- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
13		eluz2 9862	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
14		fzind2.5	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ps )
15	13, 14	sylbir 135	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ps )
16		3anass 1009	. . . 4 |- ( ( y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N ) <-> ( y e. ZZ /\ ( M <_ y /\ y < N ) ) )
17		elfzo 10487	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( y e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ y /\ y < N ) ) )
18		fzind2.6	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( M..^ N ) -> ( ch -> th ) )
19	17, 18	biimtrrdi 164	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ y /\ y < N ) -> ( ch -> th ) ) )
20	19	3coml 1237	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( M <_ y /\ y < N ) -> ( ch -> th ) ) )
21	20	3expa 1230	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ y e. ZZ ) -> ( ( M <_ y /\ y < N ) -> ( ch -> th ) ) )
22	21	impr 379	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ ( M <_ y /\ y < N ) ) ) -> ( ch -> th ) )
23	16, 22	sylan2b 287	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
24	9, 10, 11, 12, 15, 23	fzind 9696	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta )
25	8, 24	sylbi 121	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4111   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   1c1 8130   + caddc 8132   < clt 8310   <_ cle 8311   ZZcz 9579   ZZ>=cuz 9856   ...cfz 10345  ..^cfzo 10480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-fzo 10481

This theorem is referenced by:  exfzdc  10590  seq3clss  10837  seq3caopr3  10857  seqcaopr3g  10858  seq3f1olemp  10881  seqf1oglem2a  10884  seq3id3  10890  seqfeq4g  10897  ser3ge0  10902  prodfap0  12235  prodfrecap  12236  eulerthlemrprm  12930  eulerthlema  12931  nninfdclemlt  13219  gsumfzz  13725  gsumfzfsumlemm  14752