ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzind2 Unicode version

Theorem fzind2 9711
Description: Induction on the integers from  M to  N inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. Version of fzind 8922 using integer range definitions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fzind2.1  |-  ( x  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
fzind2.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
fzind2.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
fzind2.4  |-  ( x  =  K  ->  ( ph 
<->  ta ) )
fzind2.5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ps )
fzind2.6  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
fzind2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, K    x, M, y    x, N, y    ch, x    ph, y    ps, x    ta, x    th, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    K( y)

Proof of Theorem fzind2
StepHypRef Expression
1 elfz2 9492 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
2 anass 394 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) ) )
3 df-3an 927 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ ) )
43anbi1i 447 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
5 3anass 929 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
65anbi2i 446 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) ) )
72, 4, 63bitr4i 211 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
81, 7bitri 183 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
9 fzind2.1 . . 3  |-  ( x  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
10 fzind2.2 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
11 fzind2.3 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
12 fzind2.4 . . 3  |-  ( x  =  K  ->  ( ph 
<->  ta ) )
13 eluz2 9086 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
14 fzind2.5 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ps )
1513, 14sylbir 134 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ps )
16 3anass 929 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y  /\  y  <  N )  <->  ( y  e.  ZZ  /\  ( M  <_  y  /\  y  <  N ) ) )
17 elfzo 9621 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
y  e.  ( M..^ N )  <->  ( M  <_  y  /\  y  < 
N ) ) )
18 fzind2.6 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ch  ->  th ) )
1917, 18syl6bir 163 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  y  /\  y  <  N )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
20193coml 1151 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  y  /\  y  <  N )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
21203expa 1144 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  y  /\  y  <  N )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
2221impr 372 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  ( M  <_  y  /\  y  <  N ) ) )  ->  ( ch  ->  th ) )
2316, 22sylan2b 282 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  M  <_ 
y  /\  y  <  N ) )  ->  ( ch  ->  th ) )
249, 10, 11, 12, 15, 23fzind 8922 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) )  ->  ta )
258, 24sylbi 120 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 925    = wceq 1290    e. wcel 1439   class class class wbr 3851   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   1c1 7412    + caddc 7414    < clt 7583    <_ cle 7584   ZZcz 8811   ZZ>=cuz 9080   ...cfz 9485  ..^cfzo 9614
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-fz 9486  df-fzo 9615
This theorem is referenced by:  exfzdc  9712  seq3clss  9948  iseqcaopr3  9971  seq3f1olemp  9992  iseqid3s  9999  ser3ge0  10013
  Copyright terms: Public domain W3C validator