ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzind2 Unicode version

Theorem fzind2 10023
Description: Induction on the integers from  M to  N inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. Version of fzind 9173 using integer range definitions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fzind2.1  |-  ( x  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
fzind2.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
fzind2.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
fzind2.4  |-  ( x  =  K  ->  ( ph 
<->  ta ) )
fzind2.5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ps )
fzind2.6  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
fzind2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, K    x, M, y    x, N, y    ch, x    ph, y    ps, x    ta, x    th, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    K( y)

Proof of Theorem fzind2
StepHypRef Expression
1 elfz2 9804 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
2 anass 398 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) ) )
3 df-3an 964 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ ) )
43anbi1i 453 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
5 3anass 966 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
65anbi2i 452 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) ) )
72, 4, 63bitr4i 211 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
81, 7bitri 183 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
9 fzind2.1 . . 3  |-  ( x  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
10 fzind2.2 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
11 fzind2.3 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
12 fzind2.4 . . 3  |-  ( x  =  K  ->  ( ph 
<->  ta ) )
13 eluz2 9339 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
14 fzind2.5 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ps )
1513, 14sylbir 134 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ps )
16 3anass 966 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y  /\  y  <  N )  <->  ( y  e.  ZZ  /\  ( M  <_  y  /\  y  <  N ) ) )
17 elfzo 9933 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
y  e.  ( M..^ N )  <->  ( M  <_  y  /\  y  < 
N ) ) )
18 fzind2.6 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ch  ->  th ) )
1917, 18syl6bir 163 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  y  /\  y  <  N )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
20193coml 1188 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  y  /\  y  <  N )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
21203expa 1181 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  y  /\  y  <  N )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
2221impr 376 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  ( M  <_  y  /\  y  <  N ) ) )  ->  ( ch  ->  th ) )
2316, 22sylan2b 285 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  M  <_ 
y  /\  y  <  N ) )  ->  ( ch  ->  th ) )
249, 10, 11, 12, 15, 23fzind 9173 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) )  ->  ta )
258, 24sylbi 120 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1c1 7628    + caddc 7630    < clt 7807    <_ cle 7808   ZZcz 9061   ZZ>=cuz 9333   ...cfz 9797  ..^cfzo 9926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798  df-fzo 9927
This theorem is referenced by:  exfzdc  10024  seq3clss  10247  seq3caopr3  10261  seq3f1olemp  10282  seq3id3  10287  ser3ge0  10297  prodfap0  11321  prodfrecap  11322
  Copyright terms: Public domain W3C validator