Theorem fzind2 10239

Description: Induction on the integers from M to N inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. Version of fzind 9368 using integer range definitions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzind2.1	|- ( x = M -> ( ph <-> ps ) )
fzind2.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
fzind2.3	|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
fzind2.4	|- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
fzind2.5	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ps )
fzind2.6	|- ( y e. ( M..^ N ) -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
fzind2	|- ( K e. ( M ... N ) -> ta )

Distinct variable groups:   x, K   x, M, y   x, N, y   ch, x   ph, y   ps, x   ta, x   th, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   K( y)

Proof of Theorem fzind2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 10015	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
2		anass 401	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) )
3		df-3an 980	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) )
4	3	anbi1i 458	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
5		3anass 982	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
6	5	anbi2i 457	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) )
7	2, 4, 6	3bitr4i 212	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) )
8	1, 7	bitri 184	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) )
9		fzind2.1	. . 3 |- ( x = M -> ( ph <-> ps ) )
10		fzind2.2	. . 3 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
11		fzind2.3	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
12		fzind2.4	. . 3 |- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
13		eluz2 9534	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
14		fzind2.5	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ps )
15	13, 14	sylbir 135	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ps )
16		3anass 982	. . . 4 |- ( ( y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N ) <-> ( y e. ZZ /\ ( M <_ y /\ y < N ) ) )
17		elfzo 10149	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( y e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ y /\ y < N ) ) )
18		fzind2.6	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( M..^ N ) -> ( ch -> th ) )
19	17, 18	syl6bir 164	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ y /\ y < N ) -> ( ch -> th ) ) )
20	19	3coml 1210	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( M <_ y /\ y < N ) -> ( ch -> th ) ) )
21	20	3expa 1203	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ y e. ZZ ) -> ( ( M <_ y /\ y < N ) -> ( ch -> th ) ) )
22	21	impr 379	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ ( M <_ y /\ y < N ) ) ) -> ( ch -> th ) )
23	16, 22	sylan2b 287	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
24	9, 10, 11, 12, 15, 23	fzind 9368	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta )
25	8, 24	sylbi 121	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4004   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   1c1 7812   + caddc 7814   < clt 7992   <_ cle 7993   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528   ...cfz 10008  ..^cfzo 10142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-fz 10009  df-fzo 10143

This theorem is referenced by:  exfzdc  10240  seq3clss  10467  seq3caopr3  10481  seq3f1olemp  10502  seq3id3  10507  ser3ge0  10517  prodfap0  11553  prodfrecap  11554  eulerthlemrprm  12229  eulerthlema  12230  nninfdclemlt  12452