Theorem fzoshftral 10255

Description: Shift the scanning order inside of a quantification over a half-open integer range, analogous to fzshftral 10125. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzoshftral	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)..^(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐾,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem fzoshftral

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 10165	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	3ad2ant2 1020	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3	2	raleqdv 2691	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝜑))
4		peano2zm 9308	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5		fzshftral 10125	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...((𝑁 − 1) + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
6	4, 5	syl3an2 1282	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...((𝑁 − 1) + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
7		zaddcl 9310	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
8	7	3adant1 1016	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
9		fzoval 10165	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝐾)..^(𝑁 + 𝐾)) = ((𝑀 + 𝐾)...((𝑁 + 𝐾) − 1)))
10	8, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾)..^(𝑁 + 𝐾)) = ((𝑀 + 𝐾)...((𝑁 + 𝐾) − 1)))
11		zcn 9275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
12	11	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
13		zcn 9275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
14	13	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
15		1cnd 7990	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
16	12, 14, 15	addsubd 8306	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 𝐾) − 1) = ((𝑁 − 1) + 𝐾))
17	16	3adant1 1016	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 𝐾) − 1) = ((𝑁 − 1) + 𝐾))
18	17	oveq2d 5906	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾)...((𝑁 + 𝐾) − 1)) = ((𝑀 + 𝐾)...((𝑁 − 1) + 𝐾)))
19	10, 18	eqtr2d 2222	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾)...((𝑁 − 1) + 𝐾)) = ((𝑀 + 𝐾)..^(𝑁 + 𝐾)))
20	19	raleqdv 2691	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...((𝑁 − 1) + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)..^(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
21	3, 6, 20	3bitrd 214	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)..^(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2159  ∀wral 2467  [wsbc 2976  (class class class)co 5890  ℂcc 7826  1c1 7829   + caddc 7831   − cmin 8145  ℤcz 9270  ...cfz 10025  ..^cfzo 10159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-addcom 7928  ax-addass 7930  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-ltadd 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-inn 8937  df-n0 9194  df-z 9271  df-uz 9546  df-fz 10026  df-fzo 10160

This theorem is referenced by: (None)