Theorem fzoshftral 10635

Description: Shift the scanning order inside of a quantification over a half-open integer range, analogous to fzshftral 10493. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzoshftral	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)..^(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐾,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem fzoshftral

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 10533	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	3ad2ant2 1050	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3	2	raleqdv 2755	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝜑))
4		peano2zm 9661	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5		fzshftral 10493	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...((𝑁 − 1) + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
6	4, 5	syl3an2 1312	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...((𝑁 − 1) + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
7		zaddcl 9663	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
8	7	3adant1 1046	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
9		fzoval 10533	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝐾)..^(𝑁 + 𝐾)) = ((𝑀 + 𝐾)...((𝑁 + 𝐾) − 1)))
10	8, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾)..^(𝑁 + 𝐾)) = ((𝑀 + 𝐾)...((𝑁 + 𝐾) − 1)))
11		zcn 9628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
12	11	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
13		zcn 9628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
14	13	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
15		1cnd 8332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
16	12, 14, 15	addsubd 8648	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 𝐾) − 1) = ((𝑁 − 1) + 𝐾))
17	16	3adant1 1046	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 𝐾) − 1) = ((𝑁 − 1) + 𝐾))
18	17	oveq2d 6091	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾)...((𝑁 + 𝐾) − 1)) = ((𝑀 + 𝐾)...((𝑁 − 1) + 𝐾)))
19	10, 18	eqtr2d 2272	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾)...((𝑁 − 1) + 𝐾)) = ((𝑀 + 𝐾)..^(𝑁 + 𝐾)))
20	19	raleqdv 2755	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...((𝑁 − 1) + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)..^(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
21	3, 6, 20	3bitrd 214	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)..^(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  [wsbc 3051  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  1c1 8170   + caddc 8172   − cmin 8487  ℤcz 9623  ...cfz 10390  ..^cfzo 10527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528

This theorem is referenced by:  swrdspsleq  11417