ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzp1nel Unicode version

Theorem fzp1nel 10001
Description: One plus the upper bound of a finite set of integers is not a member of that set. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzp1nel  |-  -.  ( N  +  1 )  e.  ( M ... N )

Proof of Theorem fzp1nel
StepHypRef Expression
1 zre 9166 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
21ltp1d 8796 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
3 peano2z 9198 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
4 zltnle 9208 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( N  < 
( N  +  1 )  <->  -.  ( N  +  1 )  <_  N ) )
53, 4mpdan 418 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  <  ( N  + 
1 )  <->  -.  ( N  +  1 )  <_  N ) )
62, 5mpbid 146 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -.  ( N  +  1
)  <_  N )
76intnand 917 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -.  ( M  <_  ( N  +  1 )  /\  ( N  +  1
)  <_  N )
)
873ad2ant2 1004 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  ->  -.  ( M  <_  ( N  +  1 )  /\  ( N  + 
1 )  <_  N
) )
9 elfz2 9914 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  ( N  + 
1 )  /\  ( N  +  1 )  <_  N ) ) )
109notbii 658 . . 3  |-  ( -.  ( N  +  1 )  e.  ( M ... N )  <->  -.  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  /\  ( M  <_ 
( N  +  1 )  /\  ( N  +  1 )  <_  N ) ) )
11 imnan 680 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  -.  ( M  <_  ( N  +  1 )  /\  ( N  +  1 )  <_  N ) )  <->  -.  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  /\  ( M  <_ 
( N  +  1 )  /\  ( N  +  1 )  <_  N ) ) )
1210, 11bitr4i 186 . 2  |-  ( -.  ( N  +  1 )  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  ->  -.  ( M  <_  ( N  +  1 )  /\  ( N  +  1
)  <_  N )
) )
138, 12mpbir 145 1  |-  -.  ( N  +  1 )  e.  ( M ... N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821   1c1 7728    + caddc 7730    < clt 7907    <_ cle 7908   ZZcz 9162   ...cfz 9907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-1re 7821  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-addcom 7827  ax-addass 7829  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0lt1 7833  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-cnre 7838  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841  ax-pre-ltadd 7843
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-sub 8043  df-neg 8044  df-inn 8829  df-n0 9086  df-z 9163  df-fz 9908
This theorem is referenced by:  fprodm1  11490
  Copyright terms: Public domain W3C validator