ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodm1 Unicode version

Theorem fprodm1 11605
Description: Separate out the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodm1.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fprodm1.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
fprodm1.3  |-  ( k  =  N  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
fprodm1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( prod_
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) A  x.  B ) )
Distinct variable groups:    B, k    ph, k    k, M    k, N
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem fprodm1
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzp1nel 10103 . . . . 5  |-  -.  (
( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( M ... ( N  -  1
) )
2 fprodm1.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3 eluzelz 9536 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
42, 3syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
54zcnd 9375 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
6 1cnd 7972 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
75, 6npcand 8271 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
87eleq1d 2246 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <-> 
N  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ) )
91, 8mtbii 674 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  N  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
10 disjsn 3654 . . . 4  |-  ( ( ( M ... ( N  -  1 ) )  i^i  { N } )  =  (/)  <->  -.  N  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
119, 10sylibr 134 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M ... ( N  -  1
) )  i^i  { N } )  =  (/) )
12 eluzel2 9532 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
132, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
14 peano2zm 9290 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
1513, 14syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
1613zcnd 9375 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
1716, 6npcand 8271 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  +  1 )  =  M )
1817fveq2d 5519 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  M
) )
192, 18eleqtrrd 2257 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( M  - 
1 )  +  1 ) ) )
20 eluzp1m1 9550 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( M  - 
1 )  +  1 ) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1
) ) )
2115, 19, 20syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1
) ) )
22 fzsuc2 10078 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1
) ) )  -> 
( M ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  { ( ( N  -  1 )  +  1 ) } ) )
2313, 21, 22syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  { ( ( N  -  1 )  +  1 ) } ) )
247oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( M ... N ) )
257sneqd 3605 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( ( N  -  1 )  +  1 ) }  =  { N } )
2625uneq2d 3289 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M ... ( N  -  1
) )  u.  {
( ( N  - 
1 )  +  1 ) } )  =  ( ( M ... ( N  -  1
) )  u.  { N } ) )
2723, 24, 263eqtr3d 2218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  { N }
) )
2813, 4fzfigd 10430 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  e.  Fin )
29 elfzelz 10024 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( M ... N )  ->  j  e.  ZZ )
3029adantl 277 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  j  e.  ZZ )
3113adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  M  e.  ZZ )
324adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  ZZ )
33 peano2zm 9290 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
3432, 33syl 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
35 fzdcel 10039 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> DECID  j  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
3630, 31, 34, 35syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  -> DECID  j  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
3736ralrimiva 2550 . . 3  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ( M ... N )DECID  j  e.  ( M ... ( N  -  1
) ) )
38 fprodm1.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
3911, 27, 28, 37, 38fprodsplitdc 11603 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( prod_
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) A  x.  prod_ k  e.  { N } A ) )
40 fprodm1.3 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  ->  A  =  B )
4140eleq1d 2246 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  ( A  e.  CC  <->  B  e.  CC ) )
4238ralrimiva 2550 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC )
43 eluzfz2 10031 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
442, 43syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4541, 42, 44rspcdva 2846 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4640prodsn 11600 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  B  e.  CC )  ->  prod_ k  e.  { N } A  =  B )
472, 45, 46syl2anc 411 . . 3  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  { N } A  =  B )
4847oveq2d 5890 . 2  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) A  x.  prod_ k  e.  { N } A
)  =  ( prod_
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) A  x.  B ) )
4939, 48eqtrd 2210 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( prod_
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) A  x.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104  DECID wdc 834    = wceq 1353    e. wcel 2148    u. cun 3127    i^i cin 3128   (/)c0 3422   {csn 3592   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   CCcc 7808   1c1 7811    + caddc 7813    x. cmul 7815    - cmin 8127   ZZcz 9252   ZZ>=cuz 9527   ...cfz 10007   prod_cprod 11557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-proddc 11558
This theorem is referenced by:  fprodp1  11607  fprodm1s  11608
  Copyright terms: Public domain W3C validator