Theorem fzp1nel 10228

Description: One plus the upper bound of a finite set of integers is not a member of that set. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzp1nel	⊢ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)

Proof of Theorem fzp1nel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9378	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	ltp1d 9005	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
3		peano2z 9410	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		zltnle 9420	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
5	3, 4	mpdan 421	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
6	2, 5	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
7	6	intnand 933	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ¬ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
8	7	3ad2ant2 1022	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ¬ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
9		elfz2 10139	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)))
10	9	notbii 670	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ¬ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)))
11		imnan 692	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ¬ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)) ↔ ¬ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)))
12	10, 11	bitr4i 187	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ¬ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)))
13	8, 12	mpbir 146	1 ⊢ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   ∈ wcel 2176   class class class wbr 4045  (class class class)co 5946  1c1 7928   + caddc 7930   < clt 8109   ≤ cle 8110  ℤcz 9374  ...cfz 10132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-fz 10133

This theorem is referenced by:  fprodm1  11942  gsumfzfsumlemm  14382