Theorem fzp1nel 9915

Description: One plus the upper bound of a finite set of integers is not a member of that set. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzp1nel	⊢ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)

Proof of Theorem fzp1nel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9082	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	ltp1d 8712	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
3		peano2z 9114	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		zltnle 9124	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
5	3, 4	mpdan 418	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
6	2, 5	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
7	6	intnand 917	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ¬ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
8	7	3ad2ant2 1004	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ¬ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
9		elfz2 9828	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)))
10	9	notbii 658	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ¬ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)))
11		imnan 680	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ¬ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)) ↔ ¬ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)))
12	10, 11	bitr4i 186	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ¬ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)))
13	8, 12	mpbir 145	1 ⊢ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782  1c1 7645   + caddc 7647   < clt 7824   ≤ cle 7825  ℤcz 9078  ...cfz 9821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-fz 9822

This theorem is referenced by: (None)