Theorem fzspl 10487

Description: Split the last element of a finite set of sequential integers. More generic than fzsuc 10486. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzspl	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. { N } ) )

Proof of Theorem fzspl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9941	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2	1	zcnd 9774	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. CC )
3		1zzd 9676	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> 1 e. ZZ )
4	3	zcnd 9774	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> 1 e. CC )
5	2, 4	npcand 8643	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
6	5	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
7	6	ibir 177	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
8		eluzelre 9942	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )
9	8	lem1d 9266	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - 1 ) <_ N )
10	1, 3	zsubcld 9778	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
11		eluz1 9935	. . . . 5 |- ( ( N - 1 ) e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) <-> ( N e. ZZ /\ ( N - 1 ) <_ N ) ) )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) <-> ( N e. ZZ /\ ( N - 1 ) <_ N ) ) )
13	1, 9, 12	mpbir2and 957	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
14		fzsplit2 10466	. . 3 |- ( ( ( ( N - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) ... N ) ) )
15	7, 13, 14	syl2anc 415	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) ... N ) ) )
16	5	oveq1d 6100	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) ... N ) = ( N ... N ) )
17		fzsn 10483	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N ... N ) = { N } )
18	1, 17	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N ... N ) = { N } )
19	16, 18	eqtrd 2271	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) ... N ) = { N } )
20	19	uneq2d 3383	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) ... N ) ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. { N } ) )
21	15, 20	eqtrd 2271	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. { N } ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   {csn 3709   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   1c1 8181   + caddc 8183   <_ cle 8362   - cmin 8499   ZZcz 9649   ZZ>=cuz 9931   ...cfz 10422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423

This theorem is used by:  ballotfilemfp1  13283