Theorem fzspl 10407

Description: Split the last element of a finite set of sequential integers. More generic than fzsuc 10406. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzspl	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. { N } ) )

Proof of Theorem fzspl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9866	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2	1	zcnd 9704	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. CC )
3		1zzd 9606	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> 1 e. ZZ )
4	3	zcnd 9704	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> 1 e. CC )
5	2, 4	npcand 8590	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
6	5	eleq1d 2303	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
7	6	ibir 177	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
8		eluzelre 9867	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )
9	8	lem1d 9209	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - 1 ) <_ N )
10	1, 3	zsubcld 9708	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
11		eluz1 9860	. . . . 5 |- ( ( N - 1 ) e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) <-> ( N e. ZZ /\ ( N - 1 ) <_ N ) ) )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) <-> ( N e. ZZ /\ ( N - 1 ) <_ N ) ) )
13	1, 9, 12	mpbir2and 953	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
14		fzsplit2 10387	. . 3 |- ( ( ( ( N - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) ... N ) ) )
15	7, 13, 14	syl2anc 411	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) ... N ) ) )
16	5	oveq1d 6067	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) ... N ) = ( N ... N ) )
17		fzsn 10403	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N ... N ) = { N } )
18	1, 17	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N ... N ) = { N } )
19	16, 18	eqtrd 2267	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) ... N ) = { N } )
20	19	uneq2d 3375	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) ... N ) ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. { N } ) )
21	15, 20	eqtrd 2267	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. { N } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   u. cun 3211   {csn 3691   class class class wbr 4111   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   1c1 8130   + caddc 8132   <_ cle 8311   - cmin 8446   ZZcz 9579   ZZ>=cuz 9856   ...cfz 10345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346

This theorem is referenced by:  ballotfilemfp1  13152