Theorem fzspl 10407

Description: Split the last element of a finite set of sequential integers. More generic than fzsuc 10406. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzspl	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))

Proof of Theorem fzspl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 9704	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		1zzd 9606	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 1 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 9704	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 1 ∈ ℂ)
5	2, 4	npcand 8590	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
6	5	eleq1d 2303	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
7	6	ibir 177	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		eluzelre 9867	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
9	8	lem1d 9209	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
10	1, 3	zsubcld 9708	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
11		eluz1 9860	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)))
12	10, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)))
13	1, 9, 12	mpbir2and 953	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)))
14		fzsplit2 10387	. . 3 ⊢ ((((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1))) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁)))
15	7, 13, 14	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁)))
16	5	oveq1d 6067	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁) = (𝑁...𝑁))
17		fzsn 10403	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
18	1, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
19	16, 18	eqtrd 2267	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁) = {𝑁})
20	19	uneq2d 3375	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
21	15, 20	eqtrd 2267	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∪ cun 3211  {csn 3691   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  1c1 8130   + caddc 8132   ≤ cle 8311   − cmin 8446  ℤcz 9579  ℤ_≥cuz 9856  ...cfz 10345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346

This theorem is referenced by:  ballotfilemfp1  13152