Theorem prodfrecap 11689

Description: The reciprocal of a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodfap0.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
prodfap0.2	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
prodfap0.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) # 0 )
prodfrec.4	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` k ) = ( 1 / ( F ` k ) ) )
prodfrecap.g	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )

Assertion

Ref	Expression
prodfrecap	|- ( ph -> ( seq M ( x. , G ) ` N ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   k, N   ph, k   k, G

Proof of Theorem prodfrecap

Dummy variables n v m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodfap0.1	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10098	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( m = M -> ( seq M ( x. , G ) ` m ) = ( seq M ( x. , G ) ` M ) )
5		fveq2 5554	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( seq M ( x. , F ) ` m ) = ( seq M ( x. , F ) ` M ) )
6	5	oveq2d 5934	. . . . 5 |- ( m = M -> ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` m ) ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` M ) ) )
7	4, 6	eqeq12d 2208	. . . 4 |- ( m = M -> ( ( seq M ( x. , G ) ` m ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` m ) ) <-> ( seq M ( x. , G ) ` M ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` M ) ) ) )
8	7	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = M -> ( ( ph -> ( seq M ( x. , G ) ` m ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` m ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( x. , G ) ` M ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` M ) ) ) ) )
9		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( m = n -> ( seq M ( x. , G ) ` m ) = ( seq M ( x. , G ) ` n ) )
10		fveq2 5554	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( seq M ( x. , F ) ` m ) = ( seq M ( x. , F ) ` n ) )
11	10	oveq2d 5934	. . . . 5 |- ( m = n -> ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` m ) ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) )
12	9, 11	eqeq12d 2208	. . . 4 |- ( m = n -> ( ( seq M ( x. , G ) ` m ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` m ) ) <-> ( seq M ( x. , G ) ` n ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) ) )
13	12	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = n -> ( ( ph -> ( seq M ( x. , G ) ` m ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` m ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( x. , G ) ` n ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) ) ) )
14		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( seq M ( x. , G ) ` m ) = ( seq M ( x. , G ) ` ( n + 1 ) ) )
15		fveq2 5554	. . . . . 6 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( seq M ( x. , F ) ` m ) = ( seq M ( x. , F ) ` ( n + 1 ) ) )
16	15	oveq2d 5934	. . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` m ) ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` ( n + 1 ) ) ) )
17	14, 16	eqeq12d 2208	. . . 4 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( x. , G ) ` m ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` m ) ) <-> ( seq M ( x. , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( seq M ( x. , G ) ` m ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` m ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( x. , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
19		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( m = N -> ( seq M ( x. , G ) ` m ) = ( seq M ( x. , G ) ` N ) )
20		fveq2 5554	. . . . . 6 |- ( m = N -> ( seq M ( x. , F ) ` m ) = ( seq M ( x. , F ) ` N ) )
21	20	oveq2d 5934	. . . . 5 |- ( m = N -> ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` m ) ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` N ) ) )
22	19, 21	eqeq12d 2208	. . . 4 |- ( m = N -> ( ( seq M ( x. , G ) ` m ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` m ) ) <-> ( seq M ( x. , G ) ` N ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` N ) ) ) )
23	22	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = N -> ( ( ph -> ( seq M ( x. , G ) ` m ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` m ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( x. , G ) ` N ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` N ) ) ) ) )
24		eluzfz1 10097	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
25	1, 24	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
26		fveq2 5554	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( G ` k ) = ( G ` M ) )
27		fveq2 5554	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
28	27	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( 1 / ( F ` k ) ) = ( 1 / ( F ` M ) ) )
29	26, 28	eqeq12d 2208	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( ( G ` k ) = ( 1 / ( F ` k ) ) <-> ( G ` M ) = ( 1 / ( F ` M ) ) ) )
30	29	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( ( ph -> ( G ` k ) = ( 1 / ( F ` k ) ) ) <-> ( ph -> ( G ` M ) = ( 1 / ( F ` M ) ) ) ) )
31		prodfrec.4	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` k ) = ( 1 / ( F ` k ) ) )
32	31	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( k e. ( M ... N ) -> ( ph -> ( G ` k ) = ( 1 / ( F ` k ) ) ) )
33	30, 32	vtoclga 2826	. . . . . 6 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( ph -> ( G ` M ) = ( 1 / ( F ` M ) ) ) )
34	25, 33	mpcom 36	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` M ) = ( 1 / ( F ` M ) ) )
35		eluzel2 9597	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
36	1, 35	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
37		prodfrecap.g	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
38		mulcl 7999	. . . . . . 7 |- ( ( k e. CC /\ v e. CC ) -> ( k x. v ) e. CC )
39	38	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( k x. v ) e. CC )
40	36, 37, 39	seq3-1 10533	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( x. , G ) ` M ) = ( G ` M ) )
41		prodfap0.2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
42	36, 41, 39	seq3-1 10533	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( x. , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
43	42	oveq2d 5934	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` M ) ) = ( 1 / ( F ` M ) ) )
44	34, 40, 43	3eqtr4d 2236	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( x. , G ) ` M ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` M ) ) )
45	44	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( seq M ( x. , G ) ` M ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` M ) ) ) )
46		oveq1 5925	. . . . . . . . 9 |- ( ( seq M ( x. , G ) ` n ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) -> ( ( seq M ( x. , G ) ` n ) x. ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) x. ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
47	46	3ad2ant3 1022	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) /\ ( seq M ( x. , G ) ` n ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) ) -> ( ( seq M ( x. , G ) ` n ) x. ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) x. ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
48		fzofzp1 10294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
49		fveq2 5554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( G ` k ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
50		fveq2 5554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
51	50	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( 1 / ( F ` k ) ) = ( 1 / ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
52	49, 51	eqeq12d 2208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( G ` k ) = ( 1 / ( F ` k ) ) <-> ( G ` ( n + 1 ) ) = ( 1 / ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
53	52	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( G ` k ) = ( 1 / ( F ` k ) ) ) <-> ( ph -> ( G ` ( n + 1 ) ) = ( 1 / ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
54	53, 32	vtoclga 2826	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ph -> ( G ` ( n + 1 ) ) = ( 1 / ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
55	48, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( G ` ( n + 1 ) ) = ( 1 / ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
56	55	impcom 125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( G ` ( n + 1 ) ) = ( 1 / ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
57	56	oveq2d 5934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) x. ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) x. ( 1 / ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
58		1cnd 8035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> 1 e. CC )
59		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
60	59, 36, 41	prodf 11681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> seq M ( x. , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> CC )
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> seq M ( x. , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> CC )
62		elfzouz 10217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( M..^ N ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
64	61, 63	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) ` n ) e. CC )
65	50	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. CC ) )
66	65	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( F ` k ) e. CC ) <-> ( ph -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. CC ) ) )
67		elfzuz 10087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
68	41	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( F ` k ) e. CC ) )
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( M ... N ) -> ( ph -> ( F ` k ) e. CC ) )
70	66, 69	vtoclga 2826	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ph -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. CC ) )
71	48, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. CC ) )
72	71	impcom 125	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. CC )
73	41	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
74		elfzouz2 10228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( M..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` n ) )
75		fzss2 10130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( ZZ>= ` n ) -> ( M ... n ) C_ ( M ... N ) )
76	74, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( M ... n ) C_ ( M ... N ) )
77	76	sselda 3179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. ( M..^ N ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> k e. ( M ... N ) )
78		prodfap0.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) # 0 )
79	77, 78	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( M..^ N ) /\ k e. ( M ... n ) ) ) -> ( F ` k ) # 0 )
80	79	anassrs 400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> ( F ` k ) # 0 )
81	63, 73, 80	prodfap0 11688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) ` n ) # 0 )
82	50	breq1d 4039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) # 0 <-> ( F ` ( n + 1 ) ) # 0 ) )
83	82	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( F ` k ) # 0 ) <-> ( ph -> ( F ` ( n + 1 ) ) # 0 ) ) )
84	78	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( M ... N ) -> ( ph -> ( F ` k ) # 0 ) )
85	83, 84	vtoclga 2826	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ph -> ( F ` ( n + 1 ) ) # 0 ) )
86	48, 85	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( F ` ( n + 1 ) ) # 0 ) )
87	86	impcom 125	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) # 0 )
88	58, 64, 58, 72, 81, 87	divmuldivapd 8851	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) x. ( 1 / ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( 1 x. 1 ) / ( ( seq M ( x. , F ) ` n ) x. ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
89		1t1e1 9134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 x. 1 ) = 1
90	89	oveq1i 5928	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 x. 1 ) / ( ( seq M ( x. , F ) ` n ) x. ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( 1 / ( ( seq M ( x. , F ) ` n ) x. ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
91	88, 90	eqtrdi 2242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) x. ( 1 / ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( 1 / ( ( seq M ( x. , F ) ` n ) x. ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
92	57, 91	eqtrd 2226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) x. ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( 1 / ( ( seq M ( x. , F ) ` n ) x. ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
93	92	3adant3 1019	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) /\ ( seq M ( x. , G ) ` n ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) ) -> ( ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) x. ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( 1 / ( ( seq M ( x. , F ) ` n ) x. ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
94	47, 93	eqtrd 2226	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) /\ ( seq M ( x. , G ) ` n ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) ) -> ( ( seq M ( x. , G ) ` n ) x. ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( 1 / ( ( seq M ( x. , F ) ` n ) x. ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
95	63	3adant3 1019	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) /\ ( seq M ( x. , G ) ` n ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
96	37	3ad2antl1 1161	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) /\ ( seq M ( x. , G ) ` n ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
97	38	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) /\ ( seq M ( x. , G ) ` n ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) ) /\ ( k e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( k x. v ) e. CC )
98	95, 96, 97	seq3p1 10536	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) /\ ( seq M ( x. , G ) ` n ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) ) -> ( seq M ( x. , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( x. , G ) ` n ) x. ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
99	41	3ad2antl1 1161	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) /\ ( seq M ( x. , G ) ` n ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
100	95, 99, 97	seq3p1 10536	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) /\ ( seq M ( x. , G ) ` n ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) ) -> ( seq M ( x. , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( x. , F ) ` n ) x. ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
101	100	oveq2d 5934	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) /\ ( seq M ( x. , G ) ` n ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) ) -> ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( 1 / ( ( seq M ( x. , F ) ` n ) x. ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
102	94, 98, 101	3eqtr4d 2236	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) /\ ( seq M ( x. , G ) ` n ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) ) -> ( seq M ( x. , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` ( n + 1 ) ) ) )
103	102	3exp 1204	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. ( M..^ N ) -> ( ( seq M ( x. , G ) ` n ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) -> ( seq M ( x. , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
104	103	com12 30	. . . 4 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( ( seq M ( x. , G ) ` n ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) -> ( seq M ( x. , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
105	104	a2d 26	. . 3 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> ( seq M ( x. , G ) ` n ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` n ) ) ) -> ( ph -> ( seq M ( x. , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
106	8, 13, 18, 23, 45, 105	fzind2 10306	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> ( seq M ( x. , G ) ` N ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` N ) ) ) )
107	3, 106	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( seq M ( x. , G ) ` N ) = ( 1 / ( seq M ( x. , F ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   C_ wss 3153   class class class wbr 4029   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   x. cmul 7877   # cap 8600   / cdiv 8691   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074  ..^cfzo 10208   seqcseq 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519

This theorem is referenced by:  prodfdivap  11690