Theorem fztri3or 9947

Description: Trichotomy in terms of a finite interval of integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fztri3or	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))

Proof of Theorem fztri3or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3mix1 1151	. . 3 ⊢ (𝐾 < 𝑀 → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
2	1	adantl 275	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑀) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
3		3mix3 1153	. . . 4 ⊢ (𝑁 < 𝐾 → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
4	3	adantl 275	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
5		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → ¬ 𝐾 < 𝑀)
6		simpl2 986	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6	zred 9291	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		simpl1 985	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
9	8	zred 9291	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ)
10	7, 9	lenltd 7997	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑀))
11	5, 10	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
12	11	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝑀 ≤ 𝐾)
13		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → ¬ 𝑁 < 𝐾)
14	9	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
15		simpll3 1023	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
16	15	zred 9291	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	14, 16	lenltd 7997	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
18	13, 17	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
19		elfz 9924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
20	19	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
21	20	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
22	12, 18, 21	mpbir2and 929	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
23	22	3mix2d 1158	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
24		zdclt 9246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝐾)
25	24	ancoms 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝐾)
26	25	3adant2 1001	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝐾)
27	26	adantr 274	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → DECID 𝑁 < 𝐾)
28		df-dc 821	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 < 𝐾 ∨ ¬ 𝑁 < 𝐾))
29	27, 28	sylib 121	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → (𝑁 < 𝐾 ∨ ¬ 𝑁 < 𝐾))
30	4, 23, 29	mpjaodan 788	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
31		zdclt 9246	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 < 𝑀)
32	31	3adant3 1002	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 < 𝑀)
33		df-dc 821	. . 3 ⊢ (DECID 𝐾 < 𝑀 ↔ (𝐾 < 𝑀 ∨ ¬ 𝐾 < 𝑀))
34	32, 33	sylib 121	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ∨ ¬ 𝐾 < 𝑀))
35	2, 30, 34	mpjaodan 788	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 820   ∨ w3o 962   ∧ w3a 963   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3967  (class class class)co 5826  ℝcr 7733   < clt 7914   ≤ cle 7915  ℤcz 9172  ...cfz 9918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-addcom 7834  ax-addass 7836  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-ltadd 7850

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-inn 8839  df-n0 9096  df-z 9173  df-fz 9919

This theorem is referenced by:  fzdcel  9948  hashfiv01gt1  10667