Theorem fztri3or 10393

Description: Trichotomy in terms of a finite interval of integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fztri3or	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))

Proof of Theorem fztri3or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3mix1 1193	. . 3 ⊢ (𝐾 < 𝑀 → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑀) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
3		3mix3 1195	. . . 4 ⊢ (𝑁 < 𝐾 → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
5		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → ¬ 𝐾 < 𝑀)
6		simpl2 1028	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6	zred 9718	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		simpl1 1027	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
9	8	zred 9718	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ)
10	7, 9	lenltd 8407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑀))
11	5, 10	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
12	11	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝑀 ≤ 𝐾)
13		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → ¬ 𝑁 < 𝐾)
14	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
15		simpll3 1065	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
16	15	zred 9718	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	14, 16	lenltd 8407	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
18	13, 17	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
19		elfz 10367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
20	19	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
21	20	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
22	12, 18, 21	mpbir2and 953	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
23	22	3mix2d 1200	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
24		zdclt 9672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝐾)
25	24	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝐾)
26	25	3adant2 1043	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝐾)
27	26	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → DECID 𝑁 < 𝐾)
28		df-dc 843	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 < 𝐾 ∨ ¬ 𝑁 < 𝐾))
29	27, 28	sylib 122	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → (𝑁 < 𝐾 ∨ ¬ 𝑁 < 𝐾))
30	4, 23, 29	mpjaodan 806	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
31		zdclt 9672	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 < 𝑀)
32	31	3adant3 1044	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 < 𝑀)
33		df-dc 843	. . 3 ⊢ (DECID 𝐾 < 𝑀 ↔ (𝐾 < 𝑀 ∨ ¬ 𝐾 < 𝑀))
34	32, 33	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ∨ ¬ 𝐾 < 𝑀))
35	2, 30, 34	mpjaodan 806	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   ∨ w3o 1004   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℝcr 8142   < clt 8324   ≤ cle 8325  ℤcz 9594  ...cfz 10361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-fz 10362

This theorem is referenced by:  fzdcel  10394  hashfiv01gt1  11170