Theorem fztri3or 10041

Description: Trichotomy in terms of a finite interval of integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fztri3or	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))

Proof of Theorem fztri3or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3mix1 1166	. . 3 ⊢ (𝐾 < 𝑀 → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑀) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
3		3mix3 1168	. . . 4 ⊢ (𝑁 < 𝐾 → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
5		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → ¬ 𝐾 < 𝑀)
6		simpl2 1001	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6	zred 9377	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		simpl1 1000	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
9	8	zred 9377	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ)
10	7, 9	lenltd 8077	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑀))
11	5, 10	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
12	11	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝑀 ≤ 𝐾)
13		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → ¬ 𝑁 < 𝐾)
14	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
15		simpll3 1038	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
16	15	zred 9377	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	14, 16	lenltd 8077	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
18	13, 17	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
19		elfz 10016	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
20	19	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
21	20	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
22	12, 18, 21	mpbir2and 944	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
23	22	3mix2d 1173	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
24		zdclt 9332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝐾)
25	24	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝐾)
26	25	3adant2 1016	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝐾)
27	26	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → DECID 𝑁 < 𝐾)
28		df-dc 835	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 < 𝐾 ∨ ¬ 𝑁 < 𝐾))
29	27, 28	sylib 122	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → (𝑁 < 𝐾 ∨ ¬ 𝑁 < 𝐾))
30	4, 23, 29	mpjaodan 798	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
31		zdclt 9332	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 < 𝑀)
32	31	3adant3 1017	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 < 𝑀)
33		df-dc 835	. . 3 ⊢ (DECID 𝐾 < 𝑀 ↔ (𝐾 < 𝑀 ∨ ¬ 𝐾 < 𝑀))
34	32, 33	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ∨ ¬ 𝐾 < 𝑀))
35	2, 30, 34	mpjaodan 798	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   ∨ w3o 977   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  ℝcr 7812   < clt 7994   ≤ cle 7995  ℤcz 9255  ...cfz 10010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-fz 10011

This theorem is referenced by:  fzdcel  10042  hashfiv01gt1  10764