Theorem ghmf 13211

Description: A group homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
ghmf.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ghmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem ghmf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmf.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
2		ghmf.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)
3		eqid 2189	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2189	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 13207	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥)))))
6	5	simprbi 275	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥))))
7	6	simpld 112	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  ⟶wf 5234  ‘cfv 5238  (class class class)co 5900  Basecbs 12523  +_gcplusg 12600  Grpcgrp 12968   GrpHom cghm 13204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1re 7940  ax-addrcl 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-inn 8955  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-ghm 13205

This theorem is referenced by:  ghmid  13213  ghminv  13214  ghmsub  13215  ghmmhm  13217  ghmmulg  13220  ghmrn  13221  resghm  13224  ghmpreima  13230  ghmeql  13231  ghmnsgima  13232  ghmnsgpreima  13233  ghmeqker  13235  ghmf1  13237  kerf1ghm  13238  ghmf1o  13239  rhmf  13538  isrhm2d  13540