Theorem ghmf1o 13611

Description: A bijective group homomorphism is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmf1o.x	|- X = ( Base ` S )
ghmf1o.y	|- Y = ( Base ` T )

Assertion

Ref	Expression
ghmf1o	|- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y <-> `' F e. ( T GrpHom S ) ) )

Proof of Theorem ghmf1o

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmgrp2 13582	. . . . 5 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> T e. Grp )
2		ghmgrp1 13581	. . . . 5 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> S e. Grp )
3	1, 2	jca 306	. . . 4 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( T e. Grp /\ S e. Grp ) )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( T e. Grp /\ S e. Grp ) )
5		f1ocnv 5535	. . . . . 6 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
6	5	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
7		f1of 5522	. . . . 5 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> `' F : Y --> X )
8	6, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> `' F : Y --> X )
9		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
10	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> `' F : Y --> X )
11		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> x e. Y )
12	10, 11	ffvelcdmd 5716	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( `' F ` x ) e. X )
13		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> y e. Y )
14	10, 13	ffvelcdmd 5716	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( `' F ` y ) e. X )
15		ghmf1o.x	. . . . . . . . 9 |- X = ( Base ` S )
16		eqid 2205	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
17		eqid 2205	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
18	15, 16, 17	ghmlin 13584	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ ( `' F ` x ) e. X /\ ( `' F ` y ) e. X ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) = ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` T ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) )
19	9, 12, 14, 18	syl3anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) = ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` T ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) )
20		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
21		f1ocnvfv2 5847	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ x e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
22	20, 11, 21	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
23		f1ocnvfv2 5847	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ y e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
24	20, 13, 23	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
25	22, 24	oveq12d 5962	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` T ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` T ) y ) )
26	19, 25	eqtrd 2238	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` T ) y ) )
27	9, 2	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> S e. Grp )
28	15, 16	grpcl 13340	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. Grp /\ ( `' F ` x ) e. X /\ ( `' F ` y ) e. X ) -> ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) e. X )
29	27, 12, 14, 28	syl3anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) e. X )
30		f1ocnvfv 5848	. . . . . . 7 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) e. X ) -> ( ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` T ) y ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` T ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) )
31	20, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` T ) y ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` T ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) )
32	26, 31	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` T ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) )
33	32	ralrimivva 2588	. . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> A. x e. Y A. y e. Y ( `' F ` ( x ( +g ` T ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) )
34	8, 33	jca 306	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( `' F : Y --> X /\ A. x e. Y A. y e. Y ( `' F ` ( x ( +g ` T ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) )
35		ghmf1o.y	. . . 4 |- Y = ( Base ` T )
36	35, 15, 17, 16	isghm 13579	. . 3 |- ( `' F e. ( T GrpHom S ) <-> ( ( T e. Grp /\ S e. Grp ) /\ ( `' F : Y --> X /\ A. x e. Y A. y e. Y ( `' F ` ( x ( +g ` T ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) ) )
37	4, 34, 36	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> `' F e. ( T GrpHom S ) )
38	15, 35	ghmf 13583	. . . . 5 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : X --> Y )
39	38	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ `' F e. ( T GrpHom S ) ) -> F : X --> Y )
40	39	ffnd 5426	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ `' F e. ( T GrpHom S ) ) -> F Fn X )
41	35, 15	ghmf 13583	. . . . 5 |- ( `' F e. ( T GrpHom S ) -> `' F : Y --> X )
42	41	adantl 277	. . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ `' F e. ( T GrpHom S ) ) -> `' F : Y --> X )
43	42	ffnd 5426	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ `' F e. ( T GrpHom S ) ) -> `' F Fn Y )
44		dff1o4 5530	. . 3 |- ( F : X -1-1-onto-> Y <-> ( F Fn X /\ `' F Fn Y ) )
45	40, 43, 44	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ `' F e. ( T GrpHom S ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
46	37, 45	impbida 596	1 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y <-> `' F e. ( T GrpHom S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   `'ccnv 4674   Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   Grpcgrp 13332   GrpHom cghm 13576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-inn 9037  df-2 9095  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-plusg 12922  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-ghm 13577

This theorem is referenced by:  rhmf1o  13930