Theorem ghmf1o 14131

Description: A bijective group homomorphism is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmf1o.x	|- X = ( Base ` S )
ghmf1o.y	|- Y = ( Base ` T )

Assertion

Ref	Expression
ghmf1o	|- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y <-> `' F e. ( T GrpHom S ) ) )

Proof of Theorem ghmf1o

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmgrp2 14102	. . . . 5 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> T e. Grp )
2		ghmgrp1 14101	. . . . 5 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> S e. Grp )
3	1, 2	jca 306	. . . 4 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( T e. Grp /\ S e. Grp ) )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( T e. Grp /\ S e. Grp ) )
5		f1ocnv 5652	. . . . . 6 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
6	5	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
7		f1of 5639	. . . . 5 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> `' F : Y --> X )
8	6, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> `' F : Y --> X )
9		simpll 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
10	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> `' F : Y --> X )
11		simprl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> x e. Y )
12	10, 11	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( `' F ` x ) e. X )
13		simprr 537	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> y e. Y )
14	10, 13	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( `' F ` y ) e. X )
15		ghmf1o.x	. . . . . . . . 9 |- X = ( Base ` S )
16		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
17		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
18	15, 16, 17	ghmlin 14104	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ ( `' F ` x ) e. X /\ ( `' F ` y ) e. X ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) = ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` T ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) )
19	9, 12, 14, 18	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) = ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` T ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) )
20		simplr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
21		f1ocnvfv2 5984	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ x e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
22	20, 11, 21	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
23		f1ocnvfv2 5984	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ y e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
24	20, 13, 23	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
25	22, 24	oveq12d 6103	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` T ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` T ) y ) )
26	19, 25	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` T ) y ) )
27	9, 2	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> S e. Grp )
28	15, 16	grpcl 13866	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. Grp /\ ( `' F ` x ) e. X /\ ( `' F ` y ) e. X ) -> ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) e. X )
29	27, 12, 14, 28	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) e. X )
30		f1ocnvfv 5985	. . . . . . 7 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) e. X ) -> ( ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` T ) y ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` T ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) )
31	20, 29, 30	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` T ) y ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` T ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) )
32	26, 31	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` T ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) )
33	32	ralrimivva 2632	. . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> A. x e. Y A. y e. Y ( `' F ` ( x ( +g ` T ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) )
34	8, 33	jca 306	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( `' F : Y --> X /\ A. x e. Y A. y e. Y ( `' F ` ( x ( +g ` T ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) )
35		ghmf1o.y	. . . 4 |- Y = ( Base ` T )
36	35, 15, 17, 16	isghm 14099	. . 3 |- ( `' F e. ( T GrpHom S ) <-> ( ( T e. Grp /\ S e. Grp ) /\ ( `' F : Y --> X /\ A. x e. Y A. y e. Y ( `' F ` ( x ( +g ` T ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) ) )
37	4, 34, 36	sylanbrc 421	. 2 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> `' F e. ( T GrpHom S ) )
38	15, 35	ghmf 14103	. . . . 5 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : X --> Y )
39	38	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ `' F e. ( T GrpHom S ) ) -> F : X --> Y )
40	39	ffnd 5534	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ `' F e. ( T GrpHom S ) ) -> F Fn X )
41	35, 15	ghmf 14103	. . . . 5 |- ( `' F e. ( T GrpHom S ) -> `' F : Y --> X )
42	41	adantl 277	. . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ `' F e. ( T GrpHom S ) ) -> `' F : Y --> X )
43	42	ffnd 5534	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ `' F e. ( T GrpHom S ) ) -> `' F Fn Y )
44		dff1o4 5647	. . 3 |- ( F : X -1-1-onto-> Y <-> ( F Fn X /\ `' F Fn Y ) )
45	40, 43, 44	sylanbrc 421	. 2 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ `' F e. ( T GrpHom S ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
46	37, 45	impbida 604	1 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y <-> `' F e. ( T GrpHom S ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   `'ccnv 4773   Fn wfn 5372   -->wf 5373   -1-1-onto->wf1o 5376   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13404   +g cplusg 13484   Grpcgrp 13858   GrpHom cghm 14096

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-inn 9308  df-2 9366  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-plusg 13497  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-ghm 14097

This theorem is used by:  rhmf1o  14559