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Theorem ghmf1o 13812
Description: A bijective group homomorphism is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmf1o.x |- X = ( Base ` S )
ghmf1o.y |- Y = ( Base ` T )
Assertion
Ref Expression
ghmf1o |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y <-> `' F e. ( T GrpHom S ) ) )
Proof of Theorem ghmf1o
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmgrp2 13783 . . . . 5 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> T e. Grp )
2 ghmgrp1 13782 . . . . 5 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> S e. Grp )
31, 2jca 306 . . . 4 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( T e. Grp /\ S e. Grp ) )
43adantr 276 . . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( T e. Grp /\ S e. Grp ) )
5 f1ocnv 5585 . . . . . 6 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
65adantl 277 . . . . 5 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
7 f1of 5572 . . . . 5 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> `' F : Y --> X )
86, 7syl 14 . . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> `' F : Y --> X )
9 simpll 527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
108adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> `' F : Y --> X )
11 simprl 529 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> x e. Y )
1210, 11ffvelcdmd 5771 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( `' F ` x ) e. X )
13 simprr 531 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> y e. Y )
1410, 13ffvelcdmd 5771 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( `' F ` y ) e. X )
15 ghmf1o.x . . . . . . . . 9 |- X = ( Base ` S )
16 eqid 2229 . . . . . . . . 9 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
17 eqid 2229 . . . . . . . . 9 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
1815, 16, 17ghmlin 13785 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ ( `' F ` x ) e. X /\ ( `' F ` y ) e. X ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) = ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` T ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) )
199, 12, 14, 18syl3anc 1271 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) = ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` T ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) )
20 simplr 528 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
21 f1ocnvfv2 5902 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ x e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
2220, 11, 21syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
23 f1ocnvfv2 5902 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ y e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
2420, 13, 23syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
2522, 24oveq12d 6019 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` T ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` T ) y ) )
2619, 25eqtrd 2262 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` T ) y ) )
279, 2syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> S e. Grp )
2815, 16grpcl 13541 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. Grp /\ ( `' F ` x ) e. X /\ ( `' F ` y ) e. X ) -> ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) e. X )
2927, 12, 14, 28syl3anc 1271 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) e. X )
30 f1ocnvfv 5903 . . . . . . 7 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) e. X ) -> ( ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` T ) y ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` T ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) )
3120, 29, 30syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` T ) y ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` T ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) )
3226, 31mpd 13 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` T ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) )
3332ralrimivva 2612 . . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> A. x e. Y A. y e. Y ( `' F ` ( x ( +g ` T ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) )
348, 33jca 306 . . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( `' F : Y --> X /\ A. x e. Y A. y e. Y ( `' F ` ( x ( +g ` T ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) )
35 ghmf1o.y . . . 4 |- Y = ( Base ` T )
3635, 15, 17, 16isghm 13780 . . 3 |- ( `' F e. ( T GrpHom S ) <-> ( ( T e. Grp /\ S e. Grp ) /\ ( `' F : Y --> X /\ A. x e. Y A. y e. Y ( `' F ` ( x ( +g ` T ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) ) )
374, 34, 36sylanbrc 417 . 2 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> `' F e. ( T GrpHom S ) )
3815, 35ghmf 13784 . . . . 5 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : X --> Y )
3938adantr 276 . . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ `' F e. ( T GrpHom S ) ) -> F : X --> Y )
4039ffnd 5474 . . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ `' F e. ( T GrpHom S ) ) -> F Fn X )
4135, 15ghmf 13784 . . . . 5 |- ( `' F e. ( T GrpHom S ) -> `' F : Y --> X )
4241adantl 277 . . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ `' F e. ( T GrpHom S ) ) -> `' F : Y --> X )
4342ffnd 5474 . . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ `' F e. ( T GrpHom S ) ) -> `' F Fn Y )
44 dff1o4 5580 . . 3 |- ( F : X -1-1-onto-> Y <-> ( F Fn X /\ `' F Fn Y ) )
4540, 43, 44sylanbrc 417 . 2 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ `' F e. ( T GrpHom S ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
4637, 45impbida 598 1 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y <-> `' F e. ( T GrpHom S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   `'ccnv 4718   Fn wfn 5313   -->wf 5314   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Basecbs 13032   +g cplusg 13110   Grpcgrp 13533   GrpHom cghm 13777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-inn 9111  df-2 9169  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-plusg 13123  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-grp 13536  df-ghm 13778
This theorem is referenced by:  rhmf1o  14132
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