Theorem grplcan 13764

Description: Left cancellation law for groups. (Contributed by NM, 25-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplcan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplcan.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplcan	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑍 + 𝑋) = (𝑍 + 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem grplcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6057	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 + 𝑋) = (𝑍 + 𝑌) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
2	1	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑍 + 𝑋) = (𝑍 + 𝑌)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
3		grplcan.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		grplcan.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5		eqid 2232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6		eqid 2232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
7	3, 4, 5, 6	grplinv 13752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) = (0g‘𝐺))
8	7	adantlr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) = (0g‘𝐺))
9	8	oveq1d 6064	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = ((0g‘𝐺) + 𝑋))
10	3, 6	grpinvcl 13750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
11	10	adantrl 478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
12		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
13		simprl 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	11, 12, 13	3jca 1204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
15	3, 4	grpass 13711	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)))
16	14, 15	syldan 282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)))
17	16	anassrs 400	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)))
18	3, 4, 5	grplid 13733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
19	18	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
20	9, 17, 19	3eqtr3d 2273	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)) = 𝑋)
21	20	adantrl 478	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)) = 𝑋)
22	21	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑍 + 𝑋) = (𝑍 + 𝑌)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)) = 𝑋)
23	7	adantrl 478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) = (0g‘𝐺))
24	23	oveq1d 6064	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = ((0g‘𝐺) + 𝑌))
25	10	adantrl 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
26		simprr 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
27		simprl 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
28	25, 26, 27	3jca 1204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
29	3, 4	grpass 13711	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
30	28, 29	syldan 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
31	3, 4, 5	grplid 13733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
32	31	adantrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((0g‘𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
33	24, 30, 32	3eqtr3d 2273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)) = 𝑌)
34	33	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)) = 𝑌)
35	34	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑍 + 𝑋) = (𝑍 + 𝑌)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)) = 𝑌)
36	2, 22, 35	3eqtr3d 2273	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑍 + 𝑋) = (𝑍 + 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
37	36	exp53 377	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑍 ∈ 𝐵 → ((𝑍 + 𝑋) = (𝑍 + 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)))))
38	37	3imp2 1249	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑍 + 𝑋) = (𝑍 + 𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
39		oveq2 6057	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑍 + 𝑋) = (𝑍 + 𝑌))
40	38, 39	impbid1 142	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑍 + 𝑋) = (𝑍 + 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Basecbs 13201  +_gcplusg 13279  0_gc0g 13458  Grpcgrp 13702  inv_gcminusg 13703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1re 8217  ax-addrcl 8220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-inn 9234  df-2 9292  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-plusg 13292  df-0g 13460  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-grp 13705  df-minusg 13706

This theorem is referenced by:  grpidrcan  13767  grpinvinv  13769  grplmulf1o  13776  grplactcnv  13804  conjghm  13982  conjnmzb  13986  rnglz  14078  ringcom  14164  ringlz  14176  lmodlcan  14439  lmodfopne  14461