Theorem gzreim 13188

Description: Construct a gaussian integer from real and imaginary parts. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzreim	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i])

Proof of Theorem gzreim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zgz 13182	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ[i])
2		igz 13183	. . 3 ⊢ i ∈ ℤ[i]
3		zgz 13182	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℤ[i])
4		gzmulcl 13187	. . 3 ⊢ ((i ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (i · 𝐵) ∈ ℤ[i])
5	2, 3, 4	sylancr 418	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (i · 𝐵) ∈ ℤ[i])
6		gzaddcl 13186	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ (i · 𝐵) ∈ ℤ[i]) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i])
7	1, 5, 6	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i])

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  ici 8188   + caddc 8189   · cmul 8191  ℤcz 9656  ℤ[i]cgz 13178

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-n0 9576  df-z 9657  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-gz 13179

This theorem is used by:  4sqlem4  13201  4sqlem12  13211  4sqlem17  13216  2sqlem2  16451  2sqlem3  16453