Theorem gzreim 12702

Description: Construct a gaussian integer from real and imaginary parts. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzreim	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i])

Proof of Theorem gzreim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zgz 12696	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ[i])
2		igz 12697	. . 3 ⊢ i ∈ ℤ[i]
3		zgz 12696	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℤ[i])
4		gzmulcl 12701	. . 3 ⊢ ((i ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (i · 𝐵) ∈ ℤ[i])
5	2, 3, 4	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (i · 𝐵) ∈ ℤ[i])
6		gzaddcl 12700	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ (i · 𝐵) ∈ ℤ[i]) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i])
7	1, 5, 6	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i])

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2176  (class class class)co 5944  ici 7927   + caddc 7928   · cmul 7930  ℤcz 9372  ℤ[i]cgz 12692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-n0 9296  df-z 9373  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-gz 12693

This theorem is referenced by:  4sqlem4  12715  4sqlem12  12725  4sqlem17  12730  2sqlem2  15592  2sqlem3  15594