Theorem imasaddf 13532

Description: The image structure's group operation is closed in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasaddf.f	|- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasaddf.e	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
imasaddf.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasaddf.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasaddf.r	|- ( ph -> R e. Z )
imasaddf.p	|- .x. = ( +g ` R )
imasaddf.a	|- .xb = ( +g ` U )
imasaddf.c	|- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( p .x. q ) e. V )

Assertion

Ref	Expression
imasaddf	|- ( ph -> .xb : ( B X. B ) --> B )

Distinct variable groups:   q, p, B   R, p, q   a, b, p, q, V   .x. , p, q   F, a, b, p, q   ph, a, b, p, q   .xb , a, b, p, q

Allowed substitution hints:   B( a, b)   R( a, b)   .x. ( a, b)   U( q, p, a, b)   Z( q, p, a, b)

Proof of Theorem imasaddf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasaddf.f	. 2 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
2		imasaddf.e	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
3		imasaddf.u	. . 3 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
4		imasaddf.v	. . 3 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
5		imasaddf.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Z )
6		imasaddf.p	. . 3 |- .x. = ( +g ` R )
7		imasaddf.a	. . 3 |- .xb = ( +g ` U )
8	3, 4, 1, 5, 6, 7	imasplusg 13521	. 2 |- ( ph -> .xb = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
9		basfn 13271	. . . 4 |- Base Fn _V
10	5	elexd 2827	. . . 4 |- ( ph -> R e. _V )
11		funfvex 5687	. . . . 5 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
12	11	funfni 5458	. . . 4 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
13	9, 10, 12	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
14	4, 13	eqeltrd 2309	. 2 |- ( ph -> V e. _V )
15		plusgslid 13325	. . . . 5 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
16	15	slotex 13239	. . . 4 |- ( R e. Z -> ( +g ` R ) e. _V )
17	5, 16	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( +g ` R ) e. _V )
18	6, 17	eqeltrid 2319	. 2 |- ( ph -> .x. e. _V )
19		imasaddf.c	. 2 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( p .x. q ) e. V )
20	1, 2, 8, 14, 18, 19	imasaddflemg 13529	1 |- ( ph -> .xb : ( B X. B ) --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   X. cxp 4747   Fn wfn 5347   -->wf 5348   -onto->wfo 5350   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   +g cplusg 13290   "_s cimas 13512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-tp 3697  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-iimas 13515

This theorem is referenced by:  imasmnd2  13665  imasgrp2  13827