Theorem imasaddf 12745

Description: The image structure's group operation is closed in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasaddf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasaddf.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
imasaddf.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasaddf.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasaddf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasaddf.p	⊢ · = (+g‘𝑅)
imasaddf.a	⊢ ∙ = (+g‘𝑈)
imasaddf.c	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
imasaddf	⊢ (𝜑 → ∙ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐵   𝑅,𝑝,𝑞   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑉   · ,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   ∙ ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem imasaddf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasaddf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
2		imasaddf.e	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
3		imasaddf.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
4		imasaddf.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
5		imasaddf.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
6		imasaddf.p	. . 3 ⊢ · = (+g‘𝑅)
7		imasaddf.a	. . 3 ⊢ ∙ = (+g‘𝑈)
8	3, 4, 1, 5, 6, 7	imasplusg 12734	. 2 ⊢ (𝜑 → ∙ = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩})
9		basfn 12522	. . . 4 ⊢ Base Fn V
10	5	elexd 2752	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
11		funfvex 5534	. . . . 5 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
12	11	funfni 5318	. . . 4 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
13	9, 10, 12	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
14	4, 13	eqeltrd 2254	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
15		plusgslid 12573	. . . . 5 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
16	15	slotex 12491	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑍 → (+g‘𝑅) ∈ V)
17	5, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) ∈ V)
18	6, 17	eqeltrid 2264	. 2 ⊢ (𝜑 → · ∈ V)
19		imasaddf.c	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
20	1, 2, 8, 14, 18, 19	imasaddflemg 12742	1 ⊢ (𝜑 → ∙ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   × cxp 4626   Fn wfn 5213  ⟶wf 5214  –onto→wfo 5216  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464  +_gcplusg 12538   “_s cimas 12725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-tp 3602  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-iimas 12728

This theorem is referenced by: (None)