Theorem imasmulfn 12746

Description: The image structure's ring multiplication is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasaddf.f	|- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasaddf.e	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
imasaddf.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasaddf.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasaddf.r	|- ( ph -> R e. Z )
imasmulf.p	|- .x. = ( .r ` R )
imasmulf.a	|- .xb = ( .r ` U )

Assertion

Ref	Expression
imasmulfn	|- ( ph -> .xb Fn ( B X. B ) )

Distinct variable groups:   q, p, B   R, p, q   a, b, p, q, V   .x. , p, q   F, a, b, p, q   ph, a, b, p, q   .xb , a, b, p, q

Allowed substitution hints:   B( a, b)   R( a, b)   .x. ( a, b)   U( q, p, a, b)   Z( q, p, a, b)

Proof of Theorem imasmulfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasaddf.f	. 2 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
2		imasaddf.e	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
3		imasaddf.u	. . 3 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
4		imasaddf.v	. . 3 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
5		imasaddf.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Z )
6		imasmulf.p	. . 3 |- .x. = ( .r ` R )
7		imasmulf.a	. . 3 |- .xb = ( .r ` U )
8	3, 4, 1, 5, 6, 7	imasmulr 12735	. 2 |- ( ph -> .xb = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
9		basfn 12522	. . . 4 |- Base Fn _V
10	5	elexd 2752	. . . 4 |- ( ph -> R e. _V )
11		funfvex 5534	. . . . 5 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
12	11	funfni 5318	. . . 4 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
13	9, 10, 12	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
14	4, 13	eqeltrd 2254	. 2 |- ( ph -> V e. _V )
15		mulrslid 12592	. . . . 5 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
16	15	slotex 12491	. . . 4 |- ( R e. Z -> ( .r ` R ) e. _V )
17	5, 16	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( .r ` R ) e. _V )
18	6, 17	eqeltrid 2264	. 2 |- ( ph -> .x. e. _V )
19	1, 2, 8, 14, 18	imasaddfnlemg 12740	1 |- ( ph -> .xb Fn ( B X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   X. cxp 4626   Fn wfn 5213   -onto->wfo 5216   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   .rcmulr 12539   "_s cimas 12725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-tp 3602  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-iimas 12728

This theorem is referenced by: (None)