Theorem imasaddval 13265

Description: The value of an image structure's group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasaddf.f	|- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasaddf.e	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
imasaddf.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasaddf.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasaddf.r	|- ( ph -> R e. Z )
imasaddf.p	|- .x. = ( +g ` R )
imasaddf.a	|- .xb = ( +g ` U )

Assertion

Ref	Expression
imasaddval	|- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( F ` X ) .xb ( F ` Y ) ) = ( F ` ( X .x. Y ) ) )

Distinct variable groups:   q, p, B   R, p, q   a, b, p, q, V   .x. , p, q   X, p   F, a, b, p, q   ph, a, b, p, q   .xb , a, b, p, q   Y, p, q

Allowed substitution hints:   B( a, b)   R( a, b)   .x. ( a, b)   U( q, p, a, b)   X( q, a, b)   Y( a, b)   Z( q, p, a, b)

Proof of Theorem imasaddval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasaddf.f	. 2 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
2		imasaddf.e	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
3		imasaddf.u	. . 3 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
4		imasaddf.v	. . 3 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
5		imasaddf.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Z )
6		imasaddf.p	. . 3 |- .x. = ( +g ` R )
7		imasaddf.a	. . 3 |- .xb = ( +g ` U )
8	3, 4, 1, 5, 6, 7	imasplusg 13255	. 2 |- ( ph -> .xb = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
9		basfn 13005	. . . 4 |- Base Fn _V
10	5	elexd 2790	. . . 4 |- ( ph -> R e. _V )
11		funfvex 5616	. . . . 5 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
12	11	funfni 5395	. . . 4 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
13	9, 10, 12	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
14	4, 13	eqeltrd 2284	. 2 |- ( ph -> V e. _V )
15		plusgslid 13059	. . . . 5 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
16	15	slotex 12974	. . . 4 |- ( R e. Z -> ( +g ` R ) e. _V )
17	5, 16	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( +g ` R ) e. _V )
18	6, 17	eqeltrid 2294	. 2 |- ( ph -> .x. e. _V )
19	1, 2, 8, 14, 18	imasaddvallemg 13262	1 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( F ` X ) .xb ( F ` Y ) ) = ( F ` ( X .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   Fn wfn 5285   -onto->wfo 5288   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   +g cplusg 13024   "_s cimas 13246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-iimas 13249

This theorem is referenced by:  imasmnd2  13399  imasgrp2  13561  imasabl  13787  imasrng  13833  imasring  13941