Theorem imasmulf 13404

Description: The image structure's ring multiplication is closed in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasaddf.f	|- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasaddf.e	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
imasaddf.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasaddf.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasaddf.r	|- ( ph -> R e. Z )
imasmulf.p	|- .x. = ( .r ` R )
imasmulf.a	|- .xb = ( .r ` U )
imasmulf.c	|- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( p .x. q ) e. V )

Assertion

Ref	Expression
imasmulf	|- ( ph -> .xb : ( B X. B ) --> B )

Distinct variable groups:   q, p, B   R, p, q   a, b, p, q, V   .x. , p, q   F, a, b, p, q   ph, a, b, p, q   .xb , a, b, p, q

Allowed substitution hints:   B( a, b)   R( a, b)   .x. ( a, b)   U( q, p, a, b)   Z( q, p, a, b)

Proof of Theorem imasmulf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasaddf.f	. 2 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
2		imasaddf.e	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
3		imasaddf.u	. . 3 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
4		imasaddf.v	. . 3 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
5		imasaddf.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Z )
6		imasmulf.p	. . 3 |- .x. = ( .r ` R )
7		imasmulf.a	. . 3 |- .xb = ( .r ` U )
8	3, 4, 1, 5, 6, 7	imasmulr 13391	. 2 |- ( ph -> .xb = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
9		basfn 13140	. . . 4 |- Base Fn _V
10	5	elexd 2816	. . . 4 |- ( ph -> R e. _V )
11		funfvex 5656	. . . . 5 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
12	11	funfni 5432	. . . 4 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
13	9, 10, 12	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
14	4, 13	eqeltrd 2308	. 2 |- ( ph -> V e. _V )
15		mulrslid 13214	. . . . 5 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
16	15	slotex 13108	. . . 4 |- ( R e. Z -> ( .r ` R ) e. _V )
17	5, 16	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( .r ` R ) e. _V )
18	6, 17	eqeltrid 2318	. 2 |- ( ph -> .x. e. _V )
19		imasmulf.c	. 2 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( p .x. q ) e. V )
20	1, 2, 8, 14, 18, 19	imasaddflemg 13398	1 |- ( ph -> .xb : ( B X. B ) --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   X. cxp 4723   Fn wfn 5321   -->wf 5322   -onto->wfo 5324   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   .rcmulr 13160   "_s cimas 13381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-iimas 13384

This theorem is referenced by:  imasrng  13968  imasring  14076