Theorem imasmulfn 12906

Description: The image structure's ring multiplication is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasaddf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasaddf.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
imasaddf.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasaddf.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasaddf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasmulf.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
imasmulf.a	⊢ ∙ = (.r‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imasmulfn	⊢ (𝜑 → ∙ Fn (𝐵 × 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐵   𝑅,𝑝,𝑞   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑉   · ,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   ∙ ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem imasmulfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasaddf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
2		imasaddf.e	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
3		imasaddf.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
4		imasaddf.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
5		imasaddf.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
6		imasmulf.p	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7		imasmulf.a	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑈)
8	3, 4, 1, 5, 6, 7	imasmulr 12895	. 2 ⊢ (𝜑 → ∙ = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩})
9		basfn 12679	. . . 4 ⊢ Base Fn V
10	5	elexd 2773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
11		funfvex 5572	. . . . 5 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
12	11	funfni 5355	. . . 4 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
13	9, 10, 12	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
14	4, 13	eqeltrd 2270	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
15		mulrslid 12752	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
16	15	slotex 12648	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑍 → (.r‘𝑅) ∈ V)
17	5, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) ∈ V)
18	6, 17	eqeltrid 2280	. 2 ⊢ (𝜑 → · ∈ V)
19	1, 2, 8, 14, 18	imasaddfnlemg 12900	1 ⊢ (𝜑 → ∙ Fn (𝐵 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   × cxp 4658   Fn wfn 5250  –onto→wfo 5253  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  Basecbs 12621  ._rcmulr 12699   “_s cimas 12885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-tp 3627  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-iimas 12888

This theorem is referenced by: (None)