ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ioof GIF version

Theorem ioof 9970
Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
ioof (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Proof of Theorem ioof
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval 9907 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
2 ioossre 9934 . . . . 5 (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ
3 df-ov 5877 . . . . . . 7 (𝑥(,)𝑦) = ((,)‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
4 iooex 9906 . . . . . . . 8 (,) ∈ V
5 vex 2740 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
6 vex 2740 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
75, 6opex 4229 . . . . . . . 8 𝑥, 𝑦⟩ ∈ V
84, 7fvex 5535 . . . . . . 7 ((,)‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ∈ V
93, 8eqeltri 2250 . . . . . 6 (𝑥(,)𝑦) ∈ V
109elpw 3581 . . . . 5 ((𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ)
112, 10mpbir 146 . . . 4 (𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ
121, 11eqeltrrdi 2269 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ)
1312rgen2a 2531 . 2 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ
14 df-ioo 9891 . . 3 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
1514fmpo 6201 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ ↔ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ)
1613, 15mpbi 145 1 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wcel 2148  wral 2455  {crab 2459  Vcvv 2737  wss 3129  𝒫 cpw 3575  cop 3595   class class class wbr 4003   × cxp 4624  wf 5212  cfv 5216  (class class class)co 5874  cr 7809  *cxr 7990   < clt 7991  (,)cioo 9887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-ioo 9891
This theorem is referenced by:  unirnioo  9972  dfioo2  9973  ioorebasg  9974  qtopbasss  13991  retopbas  13993  tgioo  14016  tgqioo  14017
  Copyright terms: Public domain W3C validator