Theorem ioof 10300

Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ioof	⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Proof of Theorem ioof

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 10237	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		ioossre 10264	. . . . 5 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ
3		df-ov 6052	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(,)𝑦) = ((,)‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
4		iooex 10236	. . . . . . . 8 ⊢ (,) ∈ V
5		vex 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
6		vex 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
7	5, 6	opex 4344	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ V
8	4, 7	fvex 5689	. . . . . . 7 ⊢ ((,)‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ∈ V
9	3, 8	eqeltri 2305	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ V
10	9	elpw 3674	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ)
11	2, 10	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ
12	1, 11	eqeltrrdi 2324	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ)
13	12	rgen2a 2596	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ
14		df-ioo 10221	. . 3 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
15	14	fmpo 6396	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ ↔ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ)
16	13, 15	mpbi 145	1 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  {crab 2524  Vcvv 2812   ⊆ wss 3210  𝒫 cpw 3668  ⟨cop 3691   class class class wbr 4108   × cxp 4746  ⟶wf 5347  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℝcr 8122  ℝ^*cxr 8303   < clt 8304  (,)cioo 10217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-ioo 10221

This theorem is referenced by:  unirnioo  10302  dfioo2  10303  ioorebasg  10304  qtopbasss  15373  retopbas  15375  tgioo  15406  tgqioo  15407