Theorem ioof 9928

Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ioof	⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Proof of Theorem ioof

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 9865	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		ioossre 9892	. . . . 5 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ
3		df-ov 5856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(,)𝑦) = ((,)‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
4		iooex 9864	. . . . . . . 8 ⊢ (,) ∈ V
5		vex 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
6		vex 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
7	5, 6	opex 4214	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ V
8	4, 7	fvex 5516	. . . . . . 7 ⊢ ((,)‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ∈ V
9	3, 8	eqeltri 2243	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ V
10	9	elpw 3572	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ)
11	2, 10	mpbir 145	. . . 4 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ
12	1, 11	eqeltrrdi 2262	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ)
13	12	rgen2a 2524	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ
14		df-ioo 9849	. . 3 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
15	14	fmpo 6180	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ ↔ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ)
16	13, 15	mpbi 144	1 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Syntax hints:   ∧ wa 103   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  {crab 2452  Vcvv 2730   ⊆ wss 3121  𝒫 cpw 3566  ⟨cop 3586   class class class wbr 3989   × cxp 4609  ⟶wf 5194  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℝcr 7773  ℝ^*cxr 7953   < clt 7954  (,)cioo 9845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-ioo 9849

This theorem is referenced by:  unirnioo  9930  dfioo2  9931  ioorebasg  9932  qtopbasss  13315  retopbas  13317  tgioo  13340  tgqioo  13341