ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ioof GIF version

Theorem ioof 9876
Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
ioof (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Proof of Theorem ioof
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval 9813 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
2 ioossre 9840 . . . . 5 (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ
3 df-ov 5828 . . . . . . 7 (𝑥(,)𝑦) = ((,)‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
4 iooex 9812 . . . . . . . 8 (,) ∈ V
5 vex 2715 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
6 vex 2715 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
75, 6opex 4190 . . . . . . . 8 𝑥, 𝑦⟩ ∈ V
84, 7fvex 5489 . . . . . . 7 ((,)‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ∈ V
93, 8eqeltri 2230 . . . . . 6 (𝑥(,)𝑦) ∈ V
109elpw 3549 . . . . 5 ((𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ)
112, 10mpbir 145 . . . 4 (𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ
121, 11eqeltrrdi 2249 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ)
1312rgen2a 2511 . 2 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ
14 df-ioo 9797 . . 3 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
1514fmpo 6150 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ ↔ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ)
1613, 15mpbi 144 1 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wcel 2128  wral 2435  {crab 2439  Vcvv 2712  wss 3102  𝒫 cpw 3543  cop 3563   class class class wbr 3966   × cxp 4585  wf 5167  cfv 5171  (class class class)co 5825  cr 7732  *cxr 7912   < clt 7913  (,)cioo 9793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-fv 5179  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-ioo 9797
This theorem is referenced by:  unirnioo  9878  dfioo2  9879  ioorebasg  9880  qtopbasss  12963  retopbas  12965  tgioo  12988  tgqioo  12989
  Copyright terms: Public domain W3C validator