ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ioof GIF version

Theorem ioof 9971
Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
ioof (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Proof of Theorem ioof
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval 9908 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
2 ioossre 9935 . . . . 5 (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ
3 df-ov 5878 . . . . . . 7 (𝑥(,)𝑦) = ((,)‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
4 iooex 9907 . . . . . . . 8 (,) ∈ V
5 vex 2741 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
6 vex 2741 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
75, 6opex 4230 . . . . . . . 8 𝑥, 𝑦⟩ ∈ V
84, 7fvex 5536 . . . . . . 7 ((,)‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ∈ V
93, 8eqeltri 2250 . . . . . 6 (𝑥(,)𝑦) ∈ V
109elpw 3582 . . . . 5 ((𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ)
112, 10mpbir 146 . . . 4 (𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ
121, 11eqeltrrdi 2269 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ)
1312rgen2a 2531 . 2 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ
14 df-ioo 9892 . . 3 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
1514fmpo 6202 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ ↔ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ)
1613, 15mpbi 145 1 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wcel 2148  wral 2455  {crab 2459  Vcvv 2738  wss 3130  𝒫 cpw 3576  cop 3596   class class class wbr 4004   × cxp 4625  wf 5213  cfv 5217  (class class class)co 5875  cr 7810  *cxr 7991   < clt 7992  (,)cioo 9888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-ioo 9892
This theorem is referenced by:  unirnioo  9973  dfioo2  9974  ioorebasg  9975  qtopbasss  14024  retopbas  14026  tgioo  14049  tgqioo  14050
  Copyright terms: Public domain W3C validator