Theorem ioof 10206

Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ioof	⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Proof of Theorem ioof

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 10143	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		ioossre 10170	. . . . 5 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ
3		df-ov 6021	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(,)𝑦) = ((,)‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
4		iooex 10142	. . . . . . . 8 ⊢ (,) ∈ V
5		vex 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
6		vex 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
7	5, 6	opex 4321	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ V
8	4, 7	fvex 5659	. . . . . . 7 ⊢ ((,)‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ∈ V
9	3, 8	eqeltri 2304	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ V
10	9	elpw 3658	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ)
11	2, 10	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ
12	1, 11	eqeltrrdi 2323	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ)
13	12	rgen2a 2586	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ
14		df-ioo 10127	. . 3 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
15	14	fmpo 6366	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ ↔ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ)
16	13, 15	mpbi 145	1 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  {crab 2514  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200  𝒫 cpw 3652  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088   × cxp 4723  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℝcr 8031  ℝ^*cxr 8213   < clt 8214  (,)cioo 10123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-ioo 10127

This theorem is referenced by:  unirnioo  10208  dfioo2  10209  ioorebasg  10210  qtopbasss  15248  retopbas  15250  tgioo  15281  tgqioo  15282