Theorem opiedgfv 16146

Description: The set of indexed edges of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as function value. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
opiedgfv	|- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> (iEdg ` <. V , E >. ) = E )

Proof of Theorem opiedgfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelvvg 4804	. . 3 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> <. V , E >. e. ( _V X. _V ) )
2		opiedgval 16145	. . 3 |- ( <. V , E >. e. ( _V X. _V ) -> (iEdg ` <. V , E >. ) = ( 2nd ` <. V , E >. ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> (iEdg ` <. V , E >. ) = ( 2nd ` <. V , E >. ) )
4		op2ndg 6358	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> ( 2nd ` <. V , E >. ) = E )
5	3, 4	eqtrd 2267	1 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> (iEdg ` <. V , E >. ) = E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   <.cop 3697   X. cxp 4752   ` cfv 5357   2ndc2nd 6346  iEdgciedg 16134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fo 5363  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-2nd 6348  df-sub 8462  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-dec 9728  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-edgf 16126  df-iedg 16136

This theorem is referenced by:  opiedgov  16147  opiedgfvi  16149  gropd  16168  edgopval  16183  isuhgropm  16202  uhgrunop  16208  upgrop  16225  upgr0eop  16243  upgr1eopdc  16244  upgr1een  16245  umgr1een  16246  upgrunop  16248  umgrunop  16250  isuspgropen  16285  isusgropen  16286  ausgrusgrben  16289  usgr0eop  16363  uspgr1eopdc  16364  usgr1eop  16366  uhgrspanop  16403  vtxdgop  16413  p1evtxdeqfilem  16432  p1evtxdeqfi  16433  p1evtxdp1fi  16434  eupthvdres  16596  eupth2lem3fi  16597  eupth2lembfi  16598  konigsbergiedg  16604