Theorem konigsbergssiedgwpren 16355

Description: Each subset of the indexed edges of the Königsberg graph G is a word over the pairs of vertices. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsbergssiedgwpren	|- ( ( A e. Word _V /\ B e. Word _V /\ E = ( A ++ B ) ) -> A e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } )

Distinct variable group:   x, V

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   E( x)   G( x)

Proof of Theorem konigsbergssiedgwpren

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.v	. . . 4 |- V = ( 0 ... 3 )
2		konigsberg.e	. . . 4 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
3		konigsberg.g	. . . 4 |- G = <. V , E >.
4	1, 2, 3	konigsbergiedgwen 16354	. . 3 |- E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o }
5	4	jctr 315	. 2 |- ( E = ( A ++ B ) -> ( E = ( A ++ B ) /\ E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
6		ccatrcl1 11195	. 2 |- ( ( A e. Word _V /\ B e. Word _V /\ ( E = ( A ++ B ) /\ E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) ) -> A e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
7	5, 6	syl3an3 1308	1 |- ( ( A e. Word _V /\ B e. Word _V /\ E = ( A ++ B ) ) -> A e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   {crab 2514   _Vcvv 2802   ~Pcpw 3652   {cpr 3670   <.cop 3672   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018   2oc2o 6576   ~~ cen 6907   0cc0 8032   1c1 8033   2c2 9194   3c3 9195   ...cfz 10243  Word cword 11117   ++ cconcat 11171   <"cs7 11339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-ihash 11039  df-word 11118  df-concat 11172  df-s1 11197  df-s2 11341  df-s3 11342  df-s4 11343  df-s5 11344  df-s6 11345  df-s7 11346

This theorem is referenced by:  konigsbergssiedgwen  16356