Theorem lidlmex 14495

Description: Existence of the set a left ideal is built from (when the ideal is inhabited). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
lidlmex.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lidlmex	⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑊 ∈ V)

Proof of Theorem lidlmex

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑗 𝑠 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lssm 14373	. . . . . . 7 ⊢ LSubSp = (𝑤 ∈ V ↦ {𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ∣ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤))∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)𝑎)(+g‘𝑤)𝑏) ∈ 𝑠)})
2	1	funmpt2 5365	. . . . . 6 ⊢ Fun LSubSp
3		rlmfn 14473	. . . . . . 7 ⊢ ringLMod Fn V
4		fnfun 5427	. . . . . . 7 ⊢ (ringLMod Fn V → Fun ringLMod)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Fun ringLMod
6		funco 5366	. . . . . 6 ⊢ ((Fun LSubSp ∧ Fun ringLMod) → Fun (LSubSp ∘ ringLMod))
7	2, 5, 6	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ Fun (LSubSp ∘ ringLMod)
8		df-lidl 14489	. . . . . 6 ⊢ LIdeal = (LSubSp ∘ ringLMod)
9	8	funeqi 5347	. . . . 5 ⊢ (Fun LIdeal ↔ Fun (LSubSp ∘ ringLMod))
10	7, 9	mpbir 146	. . . 4 ⊢ Fun LIdeal
11		funrel 5343	. . . 4 ⊢ (Fun LIdeal → Rel LIdeal)
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel LIdeal
13		lidlmex.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)
14	13	eleq2i 2298	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 ↔ 𝑈 ∈ (LIdeal‘𝑊))
15	14	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ∈ (LIdeal‘𝑊))
16		relelfvdm 5671	. . 3 ⊢ ((Rel LIdeal ∧ 𝑈 ∈ (LIdeal‘𝑊)) → 𝑊 ∈ dom LIdeal)
17	12, 15, 16	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑊 ∈ dom LIdeal)
18	17	elexd 2816	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑊 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  {crab 2514  Vcvv 2802  𝒫 cpw 3652  dom cdm 4725   ∘ ccom 4729  Rel wrel 4730  Fun wfun 5320   Fn wfn 5321  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13087  +_gcplusg 13165  Scalarcsca 13168   ·_𝑠 cvsca 13169  LSubSpclss 14372  ringLModcrglmod 14454  LIdealclidl 14487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-sets 13094  df-iress 13095  df-mulr 13179  df-sca 13181  df-vsca 13182  df-ip 13183  df-lssm 14373  df-sra 14455  df-rgmod 14456  df-lidl 14489

This theorem is referenced by:  lidlss  14496  lidlssbas  14497  lidlbas  14498  islidlm  14499  2idlval  14522  2idlelb  14525