Theorem lidlmex 14551

Description: Existence of the set a left ideal is built from (when the ideal is inhabited). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
lidlmex.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lidlmex	⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑊 ∈ V)

Proof of Theorem lidlmex

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑗 𝑠 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lssm 14429	. . . . . . 7 ⊢ LSubSp = (𝑤 ∈ V ↦ {𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ∣ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤))∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)𝑎)(+g‘𝑤)𝑏) ∈ 𝑠)})
2	1	funmpt2 5372	. . . . . 6 ⊢ Fun LSubSp
3		rlmfn 14529	. . . . . . 7 ⊢ ringLMod Fn V
4		fnfun 5434	. . . . . . 7 ⊢ (ringLMod Fn V → Fun ringLMod)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Fun ringLMod
6		funco 5373	. . . . . 6 ⊢ ((Fun LSubSp ∧ Fun ringLMod) → Fun (LSubSp ∘ ringLMod))
7	2, 5, 6	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ Fun (LSubSp ∘ ringLMod)
8		df-lidl 14545	. . . . . 6 ⊢ LIdeal = (LSubSp ∘ ringLMod)
9	8	funeqi 5354	. . . . 5 ⊢ (Fun LIdeal ↔ Fun (LSubSp ∘ ringLMod))
10	7, 9	mpbir 146	. . . 4 ⊢ Fun LIdeal
11		funrel 5350	. . . 4 ⊢ (Fun LIdeal → Rel LIdeal)
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel LIdeal
13		lidlmex.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)
14	13	eleq2i 2298	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 ↔ 𝑈 ∈ (LIdeal‘𝑊))
15	14	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ∈ (LIdeal‘𝑊))
16		relelfvdm 5680	. . 3 ⊢ ((Rel LIdeal ∧ 𝑈 ∈ (LIdeal‘𝑊)) → 𝑊 ∈ dom LIdeal)
17	12, 15, 16	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑊 ∈ dom LIdeal)
18	17	elexd 2817	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑊 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  {crab 2515  Vcvv 2803  𝒫 cpw 3656  dom cdm 4731   ∘ ccom 4735  Rel wrel 4736  Fun wfun 5327   Fn wfn 5328  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Basecbs 13143  +_gcplusg 13221  Scalarcsca 13224   ·_𝑠 cvsca 13225  LSubSpclss 14428  ringLModcrglmod 14510  LIdealclidl 14543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-sets 13150  df-iress 13151  df-mulr 13235  df-sca 13237  df-vsca 13238  df-ip 13239  df-lssm 14429  df-sra 14511  df-rgmod 14512  df-lidl 14545

This theorem is referenced by:  lidlss  14552  lidlssbas  14553  lidlbas  14554  islidlm  14555  2idlval  14578  2idlelb  14581