Theorem lidlmex 14460

Description: Existence of the set a left ideal is built from (when the ideal is inhabited). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
lidlmex.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lidlmex	⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑊 ∈ V)

Proof of Theorem lidlmex

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑗 𝑠 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lssm 14338	. . . . . . 7 ⊢ LSubSp = (𝑤 ∈ V ↦ {𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ∣ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤))∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)𝑎)(+g‘𝑤)𝑏) ∈ 𝑠)})
2	1	funmpt2 5360	. . . . . 6 ⊢ Fun LSubSp
3		rlmfn 14438	. . . . . . 7 ⊢ ringLMod Fn V
4		fnfun 5421	. . . . . . 7 ⊢ (ringLMod Fn V → Fun ringLMod)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Fun ringLMod
6		funco 5361	. . . . . 6 ⊢ ((Fun LSubSp ∧ Fun ringLMod) → Fun (LSubSp ∘ ringLMod))
7	2, 5, 6	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ Fun (LSubSp ∘ ringLMod)
8		df-lidl 14454	. . . . . 6 ⊢ LIdeal = (LSubSp ∘ ringLMod)
9	8	funeqi 5342	. . . . 5 ⊢ (Fun LIdeal ↔ Fun (LSubSp ∘ ringLMod))
10	7, 9	mpbir 146	. . . 4 ⊢ Fun LIdeal
11		funrel 5338	. . . 4 ⊢ (Fun LIdeal → Rel LIdeal)
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel LIdeal
13		lidlmex.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)
14	13	eleq2i 2296	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 ↔ 𝑈 ∈ (LIdeal‘𝑊))
15	14	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ∈ (LIdeal‘𝑊))
16		relelfvdm 5664	. . 3 ⊢ ((Rel LIdeal ∧ 𝑈 ∈ (LIdeal‘𝑊)) → 𝑊 ∈ dom LIdeal)
17	12, 15, 16	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑊 ∈ dom LIdeal)
18	17	elexd 2813	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑊 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  {crab 2512  Vcvv 2799  𝒫 cpw 3649  dom cdm 4720   ∘ ccom 4724  Rel wrel 4725  Fun wfun 5315   Fn wfn 5316  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  Basecbs 13053  +_gcplusg 13131  Scalarcsca 13134   ·_𝑠 cvsca 13135  LSubSpclss 14337  ringLModcrglmod 14419  LIdealclidl 14452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1re 8109  ax-addrcl 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-iress 13061  df-mulr 13145  df-sca 13147  df-vsca 13148  df-ip 13149  df-lssm 14338  df-sra 14420  df-rgmod 14421  df-lidl 14454

This theorem is referenced by:  lidlss  14461  lidlssbas  14462  lidlbas  14463  islidlm  14464  2idlval  14487  2idlelb  14490