Theorem lidlmex 14922

Description: Existence of the set a left ideal is built from (when the ideal is inhabited). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
lidlmex.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lidlmex	⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑊 ∈ V)

Proof of Theorem lidlmex

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑗 𝑠 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lssm 14800	. . . . . . 7 ⊢ LSubSp = (𝑤 ∈ V ↦ {𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ∣ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤))∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)𝑎)(+g‘𝑤)𝑏) ∈ 𝑠)})
2	1	funmpt2 5419	. . . . . 6 ⊢ Fun LSubSp
3		rlmfn 14900	. . . . . . 7 ⊢ ringLMod Fn V
4		fnfun 5481	. . . . . . 7 ⊢ (ringLMod Fn V → Fun ringLMod)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Fun ringLMod
6		funco 5420	. . . . . 6 ⊢ ((Fun LSubSp ∧ Fun ringLMod) → Fun (LSubSp ∘ ringLMod))
7	2, 5, 6	mp2an 430	. . . . 5 ⊢ Fun (LSubSp ∘ ringLMod)
8		df-lidl 14916	. . . . . 6 ⊢ LIdeal = (LSubSp ∘ ringLMod)
9	8	funeqi 5401	. . . . 5 ⊢ (Fun LIdeal ↔ Fun (LSubSp ∘ ringLMod))
10	7, 9	mpbir 146	. . . 4 ⊢ Fun LIdeal
11		funrel 5397	. . . 4 ⊢ (Fun LIdeal → Rel LIdeal)
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel LIdeal
13		lidlmex.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)
14	13	eleq2i 2305	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 ↔ 𝑈 ∈ (LIdeal‘𝑊))
15	14	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ∈ (LIdeal‘𝑊))
16		relelfvdm 5730	. . 3 ⊢ ((Rel LIdeal ∧ 𝑈 ∈ (LIdeal‘𝑊)) → 𝑊 ∈ dom LIdeal)
17	12, 15, 16	sylancr 418	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑊 ∈ dom LIdeal)
18	17	elexd 2835	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑊 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532  Vcvv 2821  𝒫 cpw 3688  dom cdm 4776   ∘ ccom 4780  Rel wrel 4781  Fun wfun 5374   Fn wfn 5375  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13411  +_gcplusg 13491  Scalarcsca 13494   ·_𝑠 cvsca 13495  LSubSpclss 14799  ringLModcrglmod 14881  LIdealclidl 14914

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1re 8280  ax-addrcl 8283

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-iress 13419  df-mulr 13505  df-sca 13507  df-vsca 13508  df-ip 13509  df-lssm 14800  df-sra 14882  df-rgmod 14883  df-lidl 14916

This theorem is used by:  lidlss  14923  lidlssbas  14924  lidlbas  14925  islidlm  14926  2idlval  14949  2idlelb  14952