Theorem lmod1cl 13405

Description: The ring unity in a left module belongs to the set of scalars. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod1cl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmod1cl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmod1cl.u	⊢ 1 = (1r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmod1cl	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 1 ∈ 𝐾)

Proof of Theorem lmod1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod1cl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	lmodring 13385	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
3		lmod1cl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4		lmod1cl.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
5	3, 4	ringidcl 13203	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐾)
6	2, 5	syl 14	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 1 ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5217  Basecbs 12462  Scalarcsca 12539  1_rcur 13142  Ringcrg 13179  LModclmod 13377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-5 8981  df-6 8982  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-sets 12469  df-plusg 12549  df-mulr 12550  df-sca 12552  df-vsca 12553  df-0g 12707  df-mgm 12775  df-sgrp 12808  df-mnd 12818  df-mgp 13131  df-ur 13143  df-ring 13181  df-lmod 13379

This theorem is referenced by:  lmodvs1  13406  lmodfopnelem2  13415  lmodfopne  13416  lmodvneg1  13420  lmodcom  13423