Theorem lmodindp1 13705

Description: Two independent (non-colinear) vectors have nonzero sum. (Contributed by NM, 22-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodindp1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodindp1.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodindp1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lmodindp1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lmodindp1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodindp1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodindp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lmodindp1.q	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lmodindp1	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 )

Proof of Theorem lmodindp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodindp1.q	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2		lmodindp1.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		lmodindp1.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		lmodindp1.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2189	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
6		lmodindp1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7	4, 5, 6	lspsnneg 13697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
8	2, 3, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
9	8	eqcomd 2195	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑋)}))
10	9	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑋)}))
11		lmodgrp 13571	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
12	2, 11	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
13		lmodindp1.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
14		lmodindp1.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑊)
15		lmodindp1.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
16	4, 14, 15, 5	grpinvid1 12962	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝑊)‘𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 + 𝑌) = 0 ))
17	12, 3, 13, 16	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑊)‘𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 + 𝑌) = 0 ))
18	17	biimpar 297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) = 0 ) → ((invg‘𝑊)‘𝑋) = 𝑌)
19	18	sneqd 3620	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) = 0 ) → {((invg‘𝑊)‘𝑋)} = {𝑌})
20	19	fveq2d 5534	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) = 0 ) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑋)}) = (𝑁‘{𝑌}))
21	10, 20	eqtrd 2222	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
22	21	ex 115	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
23	22	necon3d 2404	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 ))
24	1, 23	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360  {csn 3607  ‘cfv 5231  (class class class)co 5891  Basecbs 12480  +_gcplusg 12555  0_gc0g 12727  Grpcgrp 12911  inv_gcminusg 12912  LModclmod 13564  LSpanclspn 13663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltadd 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-ltxr 8015  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-5 8999  df-6 9000  df-ndx 12483  df-slot 12484  df-base 12486  df-sets 12487  df-plusg 12568  df-mulr 12569  df-sca 12571  df-vsca 12572  df-0g 12729  df-mgm 12798  df-sgrp 12831  df-mnd 12844  df-grp 12914  df-minusg 12915  df-sbg 12916  df-mgp 13236  df-ur 13275  df-ring 13313  df-lmod 13566  df-lssm 13630  df-lsp 13664

This theorem is referenced by: (None)