ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmodindp1 GIF version

Theorem lmodindp1 13704
Description: Two independent (non-colinear) vectors have nonzero sum. (Contributed by NM, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodindp1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodindp1.p + = (+g𝑊)
lmodindp1.o 0 = (0g𝑊)
lmodindp1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lmodindp1.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lmodindp1.x (𝜑𝑋𝑉)
lmodindp1.y (𝜑𝑌𝑉)
lmodindp1.q (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lmodindp1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 )

Proof of Theorem lmodindp1
StepHypRef Expression
1 lmodindp1.q . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2 lmodindp1.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
3 lmodindp1.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
4 lmodindp1.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 eqid 2188 . . . . . . . . 9 (invg𝑊) = (invg𝑊)
6 lmodindp1.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
74, 5, 6lspsnneg 13696 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
82, 3, 7syl2anc 411 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
98eqcomd 2194 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑋)}))
109adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑋)}))
11 lmodgrp 13570 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
122, 11syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
13 lmodindp1.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑉)
14 lmodindp1.p . . . . . . . . . 10 + = (+g𝑊)
15 lmodindp1.o . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑊)
164, 14, 15, 5grpinvid1 12961 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((invg𝑊)‘𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 + 𝑌) = 0 ))
1712, 3, 13, 16syl3anc 1248 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((invg𝑊)‘𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 + 𝑌) = 0 ))
1817biimpar 297 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) = 0 ) → ((invg𝑊)‘𝑋) = 𝑌)
1918sneqd 3619 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) = 0 ) → {((invg𝑊)‘𝑋)} = {𝑌})
2019fveq2d 5533 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) = 0 ) → (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑋)}) = (𝑁‘{𝑌}))
2110, 20eqtrd 2221 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
2221ex 115 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
2322necon3d 2403 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 ))
241, 23mpd 13 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1363  wcel 2159  wne 2359  {csn 3606  cfv 5230  (class class class)co 5890  Basecbs 12479  +gcplusg 12554  0gc0g 12726  Grpcgrp 12910  invgcminusg 12911  LModclmod 13563  LSpanclspn 13662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-addcom 7928  ax-addass 7930  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltadd 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-ltxr 8014  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-5 8998  df-6 8999  df-ndx 12482  df-slot 12483  df-base 12485  df-sets 12486  df-plusg 12567  df-mulr 12568  df-sca 12570  df-vsca 12571  df-0g 12728  df-mgm 12797  df-sgrp 12830  df-mnd 12843  df-grp 12913  df-minusg 12914  df-sbg 12915  df-mgp 13235  df-ur 13274  df-ring 13312  df-lmod 13565  df-lssm 13629  df-lsp 13663
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator