ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmodindp1 GIF version

Theorem lmodindp1 13581
Description: Two independent (non-colinear) vectors have nonzero sum. (Contributed by NM, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodindp1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodindp1.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lmodindp1.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lmodindp1.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lmodindp1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lmodindp1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodindp1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lmodindp1.q (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
lmodindp1 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) β‰  0 )

Proof of Theorem lmodindp1
StepHypRef Expression
1 lmodindp1.q . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
2 lmodindp1.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 lmodindp1.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
4 lmodindp1.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 eqid 2187 . . . . . . . . 9 (invgβ€˜π‘Š) = (invgβ€˜π‘Š)
6 lmodindp1.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
74, 5, 6lspsnneg 13573 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹)}) = (π‘β€˜{𝑋}))
82, 3, 7syl2anc 411 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹)}) = (π‘β€˜{𝑋}))
98eqcomd 2193 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹)}))
109adantr 276 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹)}))
11 lmodgrp 13447 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
122, 11syl 14 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
13 lmodindp1.y . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
14 lmodindp1.p . . . . . . . . . 10 + = (+gβ€˜π‘Š)
15 lmodindp1.o . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘Š)
164, 14, 15, 5grpinvid1 12946 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹) = π‘Œ ↔ (𝑋 + π‘Œ) = 0 ))
1712, 3, 13, 16syl3anc 1248 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹) = π‘Œ ↔ (𝑋 + π‘Œ) = 0 ))
1817biimpar 297 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) = 0 ) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹) = π‘Œ)
1918sneqd 3617 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) = 0 ) β†’ {((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹)} = {π‘Œ})
2019fveq2d 5531 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) = 0 ) β†’ (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹)}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
2110, 20eqtrd 2220 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
2221ex 115 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 + π‘Œ) = 0 β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})))
2322necon3d 2401 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ (𝑋 + π‘Œ) β‰  0 ))
241, 23mpd 13 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) β‰  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   β‰  wne 2357  {csn 3604  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  Basecbs 12475  +gcplusg 12550  0gc0g 12722  Grpcgrp 12896  invgcminusg 12897  LModclmod 13440  LSpanclspn 13539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12837  df-grp 12899  df-minusg 12900  df-sbg 12901  df-mgp 13163  df-ur 13197  df-ring 13235  df-lmod 13442  df-lssm 13506  df-lsp 13540
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator