Theorem lsp0 14461

Description: Span of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsn0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsp0	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘∅) = { 0 })

Proof of Theorem lsp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsn0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		eqid 2230	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lsssn0 14408	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
4		0ss 3532	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ { 0 }
5		lspsn0.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	2, 5	lspssp 14441	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ ∅ ⊆ { 0 }) → (𝑁‘∅) ⊆ { 0 })
7	4, 6	mp3an3 1362	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘∅) ⊆ { 0 })
8	3, 7	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘∅) ⊆ { 0 })
9		0ss 3532	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (Base‘𝑊)
10		eqid 2230	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11	10, 2, 5	lspcl 14429	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∅ ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘∅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
12	9, 11	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘∅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13	1, 2	lss0ss 14409	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘∅) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ (𝑁‘∅))
14	12, 13	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ⊆ (𝑁‘∅))
15	8, 14	eqssd 3243	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘∅) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   ⊆ wss 3199  ∅c0 3493  {csn 3670  ‘cfv 5328  Basecbs 13105  0_gc0g 13362  LModclmod 14325  LSubSpclss 14390  LSpanclspn 14424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-ltxr 8224  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-0g 13364  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-grp 13609  df-minusg 13610  df-sbg 13611  df-mgp 13958  df-ur 13997  df-ring 14035  df-lmod 14327  df-lssm 14391  df-lsp 14425

This theorem is referenced by:  lspuni0  14462  lss0v  14468